《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

例☆已知a+b=5,ab=3,求a²+b²的值。
思路分析

解:因为(a+b)²=a²+b²+2ab,所以a²+b²=(a+b)²−2ab。
因为a+b=5,ab=3,所以a²+b²=5²−2×3=19。
解题策略解决此类求值问题，就是将待求的式子通过变形,转化为含有已知式子的形式，再整体代入求值。常见的公式变形如下:
1.a²+b²的变形:
　(1)a²+b²=(a+b)²−2ab;
　(2)a²+b²=(a−b)²+2ab;
　(3)a²+b²=1/2[(a+b)²+(a−b)²]。
2.ab的变形:
　(1)ab=1/2[(a+b)²−(a²+b²)];
　(2)ab=1/2[(a²+b²)−(a−b)²];
　(3)ab=1/4[(a+b)²−(a−b)²]。
3.(a±b)²的变形:
　(1)(a+b)²=(a−b)²+4ab;
　(2)(a−b)²=(a+b)²−4ab。
注意:上面式子中的a与b既可以是单项式，也可以是多项式。

答案：

对应训练

答案：

1.☆[西安碑林区期末]已知m²+n²=7,(m+n)²=11,则mn的值为________。

答案： 2

变式题组(条件变式)
(1)☆[宿迁中考]已知a+b=3,a²+b²=5,则ab=________。
(2)[毕节金沙县期末]已知(a+b)²=12,ab=2,则(a−b)²=________。
(3)☆[乐山中考]已知a−b=3,ab=10,则a²+b²=________。
(4)☆[德阳中考]已知(x+y)²=25,(x−y)²=9,则xy=________。

答案：
(1)2
(2)4
(3)29
(4)4

2.☆☆已知a+b=6,ab=−27,求下列各式的值:
(1)a²+b²−ab;
(2)(a−b)²。

答案： 解:
(1)由a+b=6,得(a+b)²=36,即a²+b²+2ab=36。因为ab=−27,所以a²+b²=36−2ab=36−2x(−27)=90。所以a²+b²−ab=90−(−27)=117。
(2)因为a²+b²=90,ab=−27,所以(a−b)²=a²−2ab+b²=(a²+b²)−2ab=90−2×(−27)=144。