《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

高频考点二 与三角形的角有关的计算
例2 ★如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O。若∠CAB = 50°，∠C = 60°，求∠DAE和∠AOB的度数。

答案：

举一反三训练2 - 1：如图，直线EF//GH，在△ABC中，∠C = 90°，点A在GH上，点B在EF上，BA平分∠DBE，∠CAD = 26°，则∠ABE的度数为（ ）
A. 26°
B. 32°
C. 34°
D. 45°

答案： B 【解析】因为$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle CAD = 26^{\circ}$，所以$\angle ADC = 90^{\circ}-\angle CAD = 64^{\circ}$。因为$EF// GH$，所以$\angle DBE = \angle ADC = 64^{\circ}$。因为$BA$平分$\angle DBE$，所以$\angle ABE = \frac{1}{2}\angle DBE = 32^{\circ}$。故选 B。

2 - 2：★（传统文化·强弩）《周礼·考工记》中记载有：“……半矩谓之宣(xuan)，一宣有半谓之橘(zhu)……”意思是：“……直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作橘……”，即：1宣 = 1/2矩，1橘 = 3/2宣（其中，1矩 = 90°）。问题：图①为中国古代一种强弩，图②为这种强弩的部分组件的示意图，若∠A = 1矩，∠B = 1橘，则∠C的度数为（ ）


A. 15°
B. 22.5°
C. 30°
D. 45°

答案： B 【解析】因为 1 宣$=\frac{1}{2}$矩，1 欐$=\frac{3}{2}$宣，1 矩$ = 90^{\circ}$，$\angle A = 1$矩，$\angle B = 1$欐，所以$\angle A = 90^{\circ}$，$\angle B = \frac{3}{2}\times\frac{1}{2}\times90^{\circ}=67.5^{\circ}$，所以$\angle C = 90^{\circ}-\angle B = 90^{\circ}-67.5^{\circ}=22.5^{\circ}$。故选 B。

2 - 3：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O。若∠BOC = 140°，则∠A的度数为________。

答案： $100^{\circ}$ 【解析】因为$BO$平分$\angle ABC$，$CO$平分$\angle ACB$，所以$\angle ABC = 2\angle OBC$，$\angle ACB = 2\angle OCB$。又因为$\angle ABC+\angle ACB+\angle A = 180^{\circ}$，所以$2\angle OBC + 2\angle OCB+\angle A = 180^{\circ}$，所以$\angle OBC+\angle OCB = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$。又因为$\angle OBC+\angle OCB+\angle BOC = 180^{\circ}$，所以$90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A+\angle BOC = 180^{\circ}$，所以$\angle BOC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$。因为$\angle BOC = 140^{\circ}$，所以$90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A = 140^{\circ}$，解得$\angle A = 100^{\circ}$。

2 - 4：★[成都金牛区期末]如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为CD延长线上一点，EF⊥AB于点F。已知∠ACB = 70°，∠E = 30°，求∠A的度数。

答案： 解：因为$CD$平分$\angle ACB$，所以$\angle ACD=\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}\times70^{\circ}=35^{\circ}$。因为$EF\perp AB$，所以$\angle EFD = 90^{\circ}$。因为$\angle E = 30^{\circ}$，所以$\angle EDF = 90^{\circ}-\angle E = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$，所以$\angle ADC = 180^{\circ}-\angle EDF = 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$，所以$\angle A = 180^{\circ}-\angle ACD-\angle ADC = 180^{\circ}-35^{\circ}-120^{\circ}=25^{\circ}$。