《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

例7★[|一题多解)如图,AB = CD,BC = DA,E,F是AC上的两点,且AE = CF,试说明:
DE = BF。
　　
思路分析
　　
解法1:如图,在△ABC和△CDA中，
因为AB = CD,BC = DA,AC = CA,
所以△ABC≌△CDA(SSS),
所以∠1 = ∠2。
在△ADE和△CBF中,
因为AD = CB,∠2 = ∠1,AE = CF，
所以△ADE≌△CBF(SAS),
所以DE = BF。
解法2:如图,同“解法1”,得
△ABC≌△CDA(SSS),所以∠3 = ∠4。
因为AE = CF,
所以AE + EF = CF + EF,即AF = CE。
在△CDE和△ABF中,
因为CD = AB,∠4 = ∠3,CE = AF,
所以△CDE≌△ABF(SAS),
所以DE = BF。

答案：

举一反三训练7−1喊☆[忻州期末]如图,AD和BC相交于点O,且AD = BC,连接AC,AB,BD。若
AC = BD,∠ABC = 20°,则∠AOB的度数为________。
　　　　　　　　　　　　　

答案： 140°

7−2箴★☆[襄阳襄城区期末]如图是由4个相同的小正方形组成的网格图,则∠1 + ∠2 等于________。
　　　　　　　

答案： 180°

7−3庚★如图,在△ABC中,AD⊥BC于点
D,CE⊥AB于点E,AD与CE交于点F,且
AD = CD。
　(1)试说明:△ABD≌△CFD;
　(2)若BC = 7,AD = 5,求AF的长。
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)因为AD⊥BC，CE⊥AB，
　　所以∠ADB = ∠CDF = ∠CEB = 90°，
　　所以∠BAD + ∠B = ∠FCD + ∠B = 90°，
　　所以∠BAD = ∠FCD。
　　在△ABD和△CFD中，
　　因为∠ADB = ∠CDF，AD = CD，∠BAD = ∠FCD，
　　所以△ABD ≌ △CFD(ASA)。
(2)因为△ABD ≌ △CFD，所以BD = DF。
　　因为BC = 7，CD = AD = 5，所以BD = BC - CD = 7 - 5 = 2，
　　所以DF = 2，所以AF = AD - DF = 5 - 2 = 3。