《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

2. (1)如图①,在四边形ABCD中,AB = AD,∠ABC + ∠D = 180°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF = 1/2∠BAD。试说明:EF = BE + DF。
(2)如图②,在四边形ABCD中,AB = AD,∠B + ∠ADC = 180°,E,F分别是边BC,CD延长线上的点,且∠EAF = 1/2∠BAD,则(1)中的结论是否仍然成立？若成立,请说明理由;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并说明理由。
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)如图①，延长$CB$至点$M$，使$BM = DF$，连接$AM$。
因为$\angle ABC+\angle D = 180^{\circ}$，$\angle ABC+\angle 1 = 180^{\circ}$，
所以$\angle 1=\angle D$。
在$\triangle ABM$和$\triangle ADF$中，
因为$AB = AD$，$\angle 1=\angle D$，$BM = DF$，
所以$\triangle ABM\cong\triangle ADF(SAS)$。所以$AM = AF$，$\angle 3=\angle 2$。
因为$\angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD$，所以$\angle 2+\angle 4=\frac{1}{2}\angle BAD=\angle EAF$。
所以$\angle 3+\angle 4=\angle EAF$，即$\angle EAM=\angle EAF$。
在$\triangle AME$和$\triangle AFE$中，
因为$AM = AF$，$\angle EAM=\angle EAF$，$AE = AE$，
所以$\triangle AME\cong\triangle AFE(SAS)$。
所以$EM = EF$，即$EF = BE + BM$。所以$EF = BE + DF$。
(2)
(1)中的结论$EF = BE + DF$不成立，它们之间的数量关系为$EF = BE - DF$。理由如下：
如图②，在$BE$上取一点$G$，使$BG = DF$，连接$AG$。
因为$\angle B+\angle ADC = 180^{\circ}$，$\angle ADF+\angle ADC = 180^{\circ}$，
所以$\angle B=\angle ADF$。
在$\triangle ABG$和$\triangle ADF$中，
因为$AB = AD$，$\angle B=\angle ADF$，$BG = DF$，
所以$\triangle ABG\cong\triangle ADF(SAS)$。所以$\angle BAG=\angle DAF$，$AG = AF$。
所以$\angle BAG+\angle EAD=\angle DAF+\angle EAD=\angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD$。
所以$\angle GAE=\angle BAD-(\angle BAG+\angle EAD)=\frac{1}{2}\angle BAD=\angle EAF$。
在$\triangle AEG$和$\triangle AEF$中，
因为$AG = AF$，$\angle GAE=\angle FAE$，$AE = AE$，
所以$\triangle AEG\cong\triangle AEF(SAS)$。所以$EG = EF$。
因为$EG = BE - BG$，所以$EF = BE - DF$。