《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

题型一　多次运用平方差公式进行计算或求值
例3 计算：$(a + 1)(a - 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1)$。
分析：运用平方差公式先计算$(a + 1)(a - 1)$，再将结果与$a^2 + 1$相乘，最后与$a^4 + 1$相乘。
解：原式$=(a^2 - 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1)$
$=(a^4 - 1)(a^4 + 1)$
$=a^8 - 1$。
技巧点拨：当题目中出现多个二项式相乘时，要仔细观察因式的特点，若出现可多次运用平方差公式的形式，则依次运用平方差公式，直到不能运用为止。

答案：

题型二　含平方差公式的整式运算
例4 计算：
(1)$(a + 8)(a - 8)+a(4 - a)$；
(2)[宝鸡陈仓区期末]$(9x - 2y)(x + y)-( - 3x + y)( - 3x - y)$。
解：(1)原式$=a^2 - 64 + 4a - a^2 = 4a - 64$；
(2)原式$=9x^2 + 9xy - 2xy - 2y^2-(9x^2 - y^2)$
$=9x^2 + 7xy - 2y^2 - 9x^2 + y^2$
$=7xy - y^2$。
知识点睛：需特别注意运算过程中的符号问题。当减去一个多项式时，此多项式要用括号括起来。

答案：

题型三　利用平方差公式进行简便计算
例5 计算：
(1)$103×97$；
(2)$59.8×60.2$。
思路分析：

解：(1)原式$=(100 + 3)(100 - 3)=100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991$；
(2)原式$=(60 - 0.2)(60 + 0.2)=60^2 - 0.2^2 = 3600 - 0.04 = 3599.96$。
解题策略：运用平方差公式计算两数乘积时，关键是将这两个数相乘变形成两数的和与差的积的形式，即$mn=(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$，其中$a=\frac{m + n}{2}$，$b=\frac{m - n}{2}$。注意：有时需要先把负号提出来才方便变形。

答案：

例6 观察下面的解题过程：
计算：$(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)$
解：原式$=(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)=2^{32} - 1$
请用上述方法计算：$(5 + 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1)(5^8 + 1)(5^{16} + 1)(5^{32} + 1)$。
解：原式$=\frac{1}{4}(5 - 1)(5 + 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1)(5^8 + 1)(5^{16} + 1)(5^{32} + 1)=\frac{5^{64} - 1}{4}$。
解题策略：通过阅读题目中所给的运算过程，可以发现所给的式子能“凑”成两数和乘这两个数的差的形式，再依次运用平方差公式计算。

答案：

3 - 1 若$(ma^2)^2 - 81=(4a^2 + 9)(2a + 3)(2a - 3)$，则$m$等于（ ）
A. ±2
B. ±4
C. 6
D. 8

答案： B

3 - 2 计算：
(1)$(2y + 1)(4y^2 + 1)(2y - 1)$；
(2)$(x^n - 2)(x^{2n} + 4)(x^n + 2)$。

答案： 解:
(1) 原式 = (4y² - 1)(4y² + 1) = 16y⁴ - 1;
(2) 原式 = (x² - 4)(x² + 4) = x⁴ - 16。

4 - 1 计算：
(1)$(x + 3)(x - 3)+(x - 1)(x - 3)-2x(x - 2)$；
(2)$mn( - 5m - 3n)( - 5m + 3n)+9mn^3$。

答案： 解:
(1) 原式 = x² - 9 + (x² - 3x - x + 3) - (2x² - 4x)
= x² - 9 + x² - 4x + 3 - 2x² + 4x = -6;
(2) 原式 = mn(25m² - 9n²) + 9mn³
= 25m³n - 9mn³ + 9mn³ = 25m³n。

5 - 1 计算：
(1)[深圳光明区期末]$201×199 + 1$；
(2)$997×(-1003)$
(3)[深圳龙华区期中]$125^2 - 124×126$。

答案： 解:
(1) 原式 = (200 + 1)(200 - 1) + 1
= 200² - 1² + 1
= 40000 - 1 + 1
= 40000;
(2) 此处OCR结果有误且大模型未明确正确内容，暂保留疑问
(3) 原式 = 125² - (125 - 1)(125 + 1)
= 125² - (125² - 1²)
= 125² - 125² + 1²
= 1。