《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

1.[郑州中原区期末]如图，长方形ABCD的周长是12cm，分别以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF与ADGH的面积之和为20cm²，则长方形ABCD的面积是(　　)

第1题图
A.6cm²
B.7cm²
C.8cm²
D.4cm²

答案： C[解析]设$AB = x\mathrm{cm},AD = y\mathrm{cm}$，则$2(x + y)=12,x^{2}+y^{2}=20$，所以$x + y = 6$，所以$(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}=20 + 2xy = 6^{2}=36$，所以$2xy = 36 - 20 = 16$，所以$xy = 8$，即长方形$ABCD$的面积是$8\mathrm{cm}^{2}$。故选C。

2.[成都青羊区期末]如图，两个正方形的边长分别为a，b。若a + b = 8，ab = 8，则图中阴影部分的面积为________。

第2题图

答案： 16　[解析]图中阴影部分的面积为$\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}b^{2}-2\times\frac{1}{2}b(a - b)=\frac{1}{2}a^{2}-ab+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}-2ab + b^{2})$。因为$a + b = 8,ab = 8$，所以$a^{2}-2ab + b^{2}=(a + b)^{2}-4ab = 8^{2}-4\times8 = 32$，所以图中阴影部分的面积为$\frac{1}{2}\times32 = 16$。

3.[阅读材料]将完全平方公式(a ± b)² = a² ± 2ab + b²进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如:若a + b = 2，ab = 1，求a² + b²的值。
解:因为(a + b)² = a² + 2ab + b²，
所以a² + b² = (a + b)² - 2ab。
又因为a + b = 2，ab = 1，
所以a² + b² = 2² - 2×1 = 2。

[探究实践](1)若a - b = 5，a² + b² = 53，求ab的值。

[拓展应用](2)如图，将边长分别为a和b的两个正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接AG和EG。若两个正方形的边长满足a + b = 12，ab = 20，求阴影部分的面积。

答案： 解:
(1)因为$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，所以$2ab=a^{2}+b^{2}-(a - b)^{2}$。又因为$a - b = 5,a^{2}+b^{2}=53$，所以$ab=\frac{1}{2}\times(53 - 5^{2}) = 14$。
(2)因为$a + b = 12,ab = 20$，所以$S_{阴影}=a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}(a + b)a-\frac{1}{2}b^{2}=a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+2ab + b^{2})-\frac{3}{2}ab=\frac{1}{2}(a + b)^{2}-\frac{3}{2}ab=\frac{1}{2}\times12^{2}-\frac{3}{2}\times20 = 42$。

4.[问题背景]图①是一个长为m，宽为4n(m＞4n)的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四个小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形。
[自主探究](1)观察图②，可得(m + n)² - (m - n)² = ________。
[知识运用](2)若2x - 3y = 5，xy = 1，求(2x + 3y)²的值。
[知识延伸](3)当(x - 10)(20 - x) = 8时，求(2x - 30)²的值。

答案： 解:
(1)4mn
(2)$(2x + 3y)^{2}=(2x - 3y)^{2}+4\cdot2x\cdot3y=(2x - 3y)^{2}+24xy=5^{2}+24\times1 = 49$。
(3)因为$(x - 10)-(20 - x)=2x - 30,(x - 10)+(20 - x)=10$，所以$(2x - 30)^{2}=[(x - 10)-(20 - x)]^{2}=[(x - 10)+(20 - x)]^{2}-4(x - 10)(20 - x)=10^{2}-4\times8 = 68$。