《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

举一反三训练1 - 1 如图，△AOC≌△BOD，下列说法错误的是(　　　)


A.∠A与∠B是对应角
B.∠AOC与∠BOD是对应角
C.OC与OB是对应边
D.AC与BD是对应边

答案： C

1 - 2 如图，已知△ACB与△DEF全等，其中点A与点D，点C与点E是对应顶点，则CB的对应边是__________，∠ABC的对应角是________。

答案： EF ∠F

1 - 3 如图，已知△ABD≌△CDB，∠ABD与∠CDB是对应角，写出对应边和其他对应角。

答案： 解：BD 与 DB，AD 与 CB，AB 与 CD 是对应边；其他的对应角为∠A 与∠C，∠ADB 与∠CBD。

例2 如图，△ACF≌△DBE，其中点A，B，C，D在同一条直线上。


(1)若∠EBD = 90°，∠F = 63°，求∠A的度数；
(2)若AB = 3cm，BC = 5cm，求AD的长。

思路分析：

解：(1)因为△ACF≌△DBE，所以∠FCA = ∠EBD = 90°，
所以∠A = 90° - ∠F = 90° - 63° = 27°。
(2)因为△ACF≌△DBE，所以CA = BD，
所以CA - BC = BD - BC，即AB = CD = 3cm。
所以AD = AB + BC + CD = 3 + 5 + 3 = 11(cm)。

方法总结：利用全等三角形的性质进行计算的方法：
(1)求线段长时，利用对应边相等，将所求线段转化为已知线段求解；
(2)求角度时，利用对应角相等，常结合三角形三个内角的和等于180°求解。

答案：

举一反三训练2 - 1 如图，△ABC≌△DEF，则EF的长为________。

答案： 5

2 - 2 如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A = 36°，∠C' = 24°，则∠B的度数为________。

答案： 120°

2 - 3 如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD相交于点F，AB = 6，BC = 3，∠C = 55°，∠D = 25°。求：
(1)AE的长；
(2)∠AED的度数。

答案： 解：
(1)因为△ABC≌△DEB，所以 BE = BC = 3。
所以 AE = AB - BE = 6 - 3 = 3。
(2)因为△ABC≌△DEB，所以∠DBE = ∠C = 55°。
所以∠DEB = 180° - ∠D - ∠DBE = 180° - 25° - 55° = 100°。
所以∠AED = 180° - ∠DEB = 180° - 100° = 80°。

例3 如图，△ADF≌△CBE，点E，B，D，F在一条直线上。


(1)线段AD与BC之间的数量关系是______________，依据是______________；
(2)判断AD与BC之间的位置关系，并说明理由。

解：(1)AD = BC，全等三角形的对应边相等
(2)AD//BC。理由如下：
因为△ADF≌△CBE，所以∠ADF = ∠CBE，
所以180° - ∠ADF = 180° - ∠CBE，
即∠ADB = ∠CBD。所以AD//BC。

方法总结：说明两直线位置关系的方法：
(1)说明两直线平行，通常考虑“三线八角”中的两角相等或互补；(2)说明两直线垂直，通常根据两直线的夹角为90°或相关三角形的锐角互余进行说明。

答案：

题型二 利用全等三角形的性质探究动点问题
4 - 1 如图，在△ABC中，AB = AC = 10cm，BC = 8cm，D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B出发向点C运动，同时点Q在线段CA上以acm/s的速度由点C出发向点A运动，设运动的时间为ts。若△CPQ和△BDP全等，且∠B与∠C是对应角，求a的值。

思路分析：

答案： 解：由题意，得 BP = 3t cm，CQ = at cm，
所以 CP = BC - BP = (8 - 3t)cm。
因为 AB = 10 cm，D 为 AB 的中点，
所以 BD = $\frac{1}{2}$AB = 5 cm。
因为△CPQ 和△BDP 全等，且∠B 与∠C 是对应角，
所以分两种情况讨论：
①若△CPQ≌△BDP，则 CP = BD，CQ = BP，
即 8 - 3t = 5，at = 3t，所以 t = 1，a = 3。
②若△CQP≌△BDP，则 CP = BP，CQ = BD，
即 8 - 3t = 3t，at = 5，所以 t = $\frac{4}{3}$，a = $\frac{15}{4}$。
综上所述，a 的值为 3 或 $\frac{15}{4}$。

举一反三训练3 - 1☆ 如图，点A，B，C在一条直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC。
(1)判断AC与BD的位置关系，并说明理由；
(2)判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由。

答案： 解：
(1)AC⊥BD。理由如下：
因为△ABD≌△EBC，所以∠ABD = ∠EBC。
因为点 A，B，C 在一条直线上，
所以∠ABD + ∠EBC = 180°。
所以∠EBC = 90°，所以 AC⊥BD。
(2)直线 AD 与直线 CE 垂直。
理由如下：
如图，延长 CE 交 AD 于点 F。
因为△ABD≌△EBC，所以∠A = ∠BEC。
在△BCE 中，因为∠EBC = 90°，所以∠BEC + ∠C = 90°，
所以∠A + ∠C = 90°。
所以在△ACF 中，∠AFC = 180° - (∠A + ∠C) = 90°，
所以直线 AD 与直线 CE 垂直。