《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

例：定义：若∠1，∠2是同旁内角，并且∠1，∠2满足∠2 = ∠1 + 20°，则称∠2是∠1的内联角。已知∠β是∠α的内联角。
(1)如图①，①当∠α = 60°时，∠β = ________。
　　
②当直线l₁//l₂时，求∠β的度数。
　　
(2)如图②，∠DHG是∠BGH的内联角吗？请说明理由。
(3)如图③，O是线段GH上一定点，过点O的直线分别交直线CD，AB于点P，Q，∠α = 50°，当∠EOP是图中某个角的内联角时，请求出此时∠EOP的度数。


思路分析
(1)
　　
(2)已知∠β = ∠α + 20°，将∠DHG，∠BGH向∠α，∠β转化，由内联角的定义，判断∠DHG = ∠BGH + 20°是否成立即可得。
(3)
　　
解：(1)①80°
②因为∠β是∠α的内联角，所以∠β = ∠α + 20°，则∠α = ∠β − 20°。
因为l₁//l₂，所以∠α + ∠β = 180°，所以∠β − 20° + ∠β = 180°，所以∠β = 100°。
(2)∠DHG是∠BGH的内联角。理由：因为∠β是∠α的内联角，所以∠β = ∠α + 20°。
因为∠DHG = 180° − ∠α，∠BGH = 180° − ∠β，所以∠DHG − ∠BGH = ∠β − ∠α = 20°，
所以∠DHG = ∠BGH + 20°
又因为∠DHG，∠BGH是同旁内角，所以∠DHG是∠BGH的内联角。
(3)当∠EOP是∠β的内联角时，∠EOP = ∠β + 20° = ∠α + 20° + 20° = 50° + 20° + 20° = 90°。
当∠EOP是∠CPO的内联角时，∠EOP = ∠CPO + 20°，即∠CPO = ∠EOP − 20°。
如图③，过点O作MN//CD，则∠EOM = ∠α = 50°，∠MOP + ∠CPO = 180°。
因为∠MOP = ∠EOP − ∠EOM，所以∠EOP − 50° + ∠EOP − 20° = 180°，所以∠EOP = 125°。
综上所述，当∠EOP是∠β的内联角时，∠EOP = 90°；当∠EOP是∠CPO的内联角时，∠EOP = 125°。

答案：
(1)①80°②因为∠β是∠α的内联角，所以∠β = ∠α + 20°，则∠α = ∠β − 20°。因为l₁//l₂，所以∠α + ∠β = 180°，所以∠β − 20° + ∠β = 180°，所以∠β = 100°。
(2)∠DHG是∠BGH的内联角。理由：因为∠β是∠α的内联角，所以∠β = ∠α + 20°。因为∠DHG = 180° − ∠α，∠BGH = 180° − ∠β，所以∠DHG − ∠BGH = ∠β − ∠α = 20°，所以∠DHG = ∠BGH + 20°又因为∠DHG，∠BGH是同旁内角，所以∠DHG是∠BGH的内联角。
(3)当∠EOP是∠β的内联角时，∠EOP = ∠β + 20° = ∠α + 20° + 20° = 50° + 20° + 20° = 90°。当∠EOP是∠CPO的内联角时，∠EOP = ∠CPO + 20°，即∠CPO = ∠EOP − 20°。如图③，过点O作MN//CD，则∠EOM = ∠α = 50°，∠MOP + ∠CPO = 180°。因为∠MOP = ∠EOP − ∠EOM，所以∠EOP − 50° + ∠EOP − 20° = 180°，所以∠EOP = 125°。综上所述，当∠EOP是∠β的内联角时，∠EOP = 90°；当∠EOP是∠CPO的内联角时，∠EOP = 125°。