《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

13. 有甲、乙、丙、丁 4 名同学站成一排参加文艺会演,若甲不站在两端,乙和丙不相邻,则不同排列方式共有 (B)

A.12 种
B.8 种
C.6 种
D.4 种

答案： 13.B[提示:把丙和乙捆绑在一起,4个人任意排列的情况有$A_2^2·A_3^3=12$(种),甲站在两端的情况有$A_2^1A_3^3=12$(种),甲站在两端且乙和丙相邻的情况有$A_2^2A_2^2A_2^1=8$(种),
∴甲不站在两端,丙和丁不相邻的不同排列方式有$A_4^4-(12 + 12 - 8)=8$(种).]

14. (2024·黑龙江哈尔滨九中高二下期中)由 1,2,3,4 四个数字组成无重复数字的四位偶数有 (C)

A.$ 4^{4} $个
B.24 个
C.12 个
D.6 个

答案： 14.C[提示:先排个位有$A_2^1$种,再排其他三位有$A_3^3$种,故一共有$A_2^1A_3^3=12$(个).]

15. 某国际旅行社现有 11 名对外翻译人员,其中有 5 人只会英语,4 人只会法语,2 人既会英语又会法语,现从这 11 人中选出 4 人当英语翻译,4 人当法语翻译,则共有不同的选法 (B)

A.225 种
B.185 种
C.145 种
D.110 种

答案： 15.B[提示:根据题意,按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类.①“2人既会英语又会法语”的不参加,这时有$C_5^3C_4^4$种;②“2人既会英语又会法语”中有一人入选,这时又有该人当英语或法语翻译两种可能,因此有$C_2^1C_3^1C_4^3+C_2^1C_4^3C_3^1$种;③“2人既会英语又会法语”中两个均入选,这时又分三种情况:两个都翻译英语、两个都翻译法语、两人各翻译一个语种,因此有$C_2^2C_4^4+C_4^4C_2^2+C_2^1C_1^1C_3^1C_3^1$种.综上,共有不同的选法$C_5^3C_4^4+C_2^1C_3^1C_4^3+C_2^1C_4^3C_3^1+C_2^2C_4^4+C_4^4C_2^2+C_2^1C_1^1C_3^1C_3^1=185$(种).]

16. 中国古代文化博大精深,其中很多发明至今还影响着我们,例如中国象棋.中国象棋中的“马”在棋盘上是行走“日”字(可纵走如由 A 到 C,也可横走如由 A 到 D),在如图所示的棋盘上,“马”由 A 点到 B 点的最短走法有 (C)


A.4 种
B.5 种
C.6 种
D.7 种

答案：
16.C[提示:如图,若到B,则先到M和N处,一共最少4步,包含如下路线:D到N处有2种路线,D到M处有2种路线,C到M处有2种路线,C到N处没有路线.综上可知,A到B最短走4步,共有6种走法.

17. 在平面坐标系 xOy 中,一个质点从原点出发,每次移动一个单位长度,且上、下、左、右四个方向移动的概率相等,若该质点移动 6 次后所在坐标为(2,0),则该质点移动的方法有 (D)

A.120 种
B.135 种
C.210 种
D.225 种

答案： 17.D[提示:根据题意,可分为三种情况:①质点往右移动4次,往左移动2次,$C_6^2=15$;②质点往右移动3次,往左移动1次,往上移动一次,往下移动一次,$C_6^3A_3^2=120$;③质点往右移动2次,往上移动2次,往下移动2次,$C_6^2C_4^2=90$.所以该质点移动的方法有15 + 120 + 90 = 225(种).]

18. 如图,在数轴上,一个质点在外力的作用下,从原点 O 出发,每次等可能地向左或向右移动一个单位,共移动 3 次,则质点运动到 1 的移动方式有3_ 种.

答案： 18.3[提示:由题意,要使质点移动3次,最后到1,则质点向右移动2次,向左移动1次,移动方式共有$C_3^2=3$(种).]

19. 有三串气球,每串气球的个数如图所示,某人每次用气枪射击一只气球,且每次都射击某一串气球中最下面的一只,直到所有的气球均被击破为止.假设此人每次射击均能击破一只气球,则其击破气球的不同顺序有 (D)


A.8 种
B.144 种
C.120 种
D.280 种

答案： 19.D[提示:将被射击的8个气球排成一列,同一串气球按由下往上的顺序放入,相当于8个位置,取4个位置将中间一串气球按由下往上的顺序放入,有$C_8^4$种方法,再从余下4个位置中取3个将左边一串的3个气球按由下往上的顺序放入,有$C_4^3$种方法,最后放入右边的一个气球于最后一个位置,有$C_1^1$种方法,由分步乘法计数原理得击破气球的不同顺序有$C_8^4C_4^3C_1^1=280$(种).]

20. 现有 12 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色卡片各 4 张,从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一颜色,且红色卡片至多 1 张,则不同的取法种数为 (C)

A.84
B.172
C.160
D.230

答案： 20.C[提示:根据题意,不考虑限制,从12张卡片中任取3张,共有$C_{12}^3$种取法,如果取出的3张为同一种颜色,那么有$3C_4^3$种情况;如果取出的3张有2张红色卡片,那么有$C_4^2C_8^1$种情况.故所求的取法共有$C_{12}^3-3C_4^3-C_4^2C_8^1=160$(种).]

21. 甲、乙、丙等 8 人围成一圈就座,已知甲、乙两人相邻,甲、丙两人不相邻,则不同的坐法共有 (A)

A.1200 种
B.1440 种
C.7200 种
D.9600 种

答案： 21.A[提示:因为环状排列没有首尾之分,8人围成一圈就座没有首尾之分,所以可先固定甲位置,乙与甲相邻则有$A_2^1$种坐法;丙与甲不相邻,则有$A_5^3$种坐法,余下5人有$A_5^5$种坐法.故所求坐法共有$A_2^1A_5^3A_5^5=1200$(种).]

22. 一个综艺节目中,3 名主持人与 33 位参与者随机站成一个圆圈,求参与者连续站在一起的人数不超过 13 人的站法种数.(不必写出具体数字)

答案： 22.解:记3名主持人分别为甲、乙、丙,3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈,将主持人甲作为参照物,只需考虑剩下的35人从甲开始顺时针排列的顺序,参与者连续站在一起的人数不超过13人,则主持人乙、丙将33位参与者分隔成3组,按照顺时针方向记为第一、二、三组,由33 = 7 + 13 + 13 = 8 + 12 + 13 = 9 + 11 + 13 = 9 + 12 + 12 = 10 + 10 + 13 = 10 + 11 + 12 = 11 + 11 + 11,考虑33 = 7 + 13 + 13的情况,第一、二、三组人数有(7,13,13),(13,7,13),(13,13,7)3种分组方法;考虑33 = 8 + 12 + 13,第一、二、三组人数有$A_3^3$种分组方法;考虑33 = 11 + 11 + 11,第一、二、三组人数有1种分组方法;同理可知,共有$3+A_3^3+A_3^3+3+3+A_3^3+1=28$种分组方法,则参与者连续站在一起的人数不超过13人的站法共有$28A_2^2A_{33}^{33}$种.