《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

5. 【题型二、三】(2024·黑龙江哈尔滨三中高二下期中)如图，给 $ ABCDEF $ 六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有(B)

A.1440 种
B.1920 种
C.2160 种
D.3360 种

答案： B[提示：根据题意，分2步进行分析：①对于A，B，C三点，两两相邻，有$A_{3}^{3}=60$种涂色方法.②F与C相邻，有4种颜色可选，若F与A同色，其中D与B同色时，E有3种涂色方法，D与B不同色时，D有3种颜色可选，E有2种颜色可选，此时有$3 + 3×2 = 9$种涂色方法；同理，若F与B同色，有9种涂色方法；若F与A，B颜色都不同，F有2种颜色可选，若D与B同色，E有3种涂色方法，若D与B不同色，D有2种涂色方法，E有2种涂色方法，此时有$2×(3 + 2×2)=14$种涂色方法.综上，F，D，E有$9 + 9+14 = 32$种涂色方法.故共有$60×32 = 1920$种涂色方法.]

6. 【题型二、三】如图，四根绳子上共挂有 10 只气球，绳子上的球数依次为 1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是12600.

答案： 12600[提示：问题等价于编号为1,2,3,$·s$,10的10个小球排列，其中2,3号,4,5,6号,7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得将这些气球都打破的不同打法数是$\frac{A_{10}^{10}}{A_{2}^{2}× A_{3}^{3}× A_{4}^{4}}=12600$.]

7. 【题型二、三】从 5 名志愿者中选出 3 名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有48种.

答案： 48[提示：从5名志愿者中选出3名任意安排有$A_{5}^{3}=60$(种)，若选出3名且甲从事翻译工作，则有$A_{4}^{2}=12$(种)，所以5名志愿者中选出3名且甲不能从事翻译工作的选派方案有$60 - 12 = 48$(种).]

8. 【题型二、三】某班某一天的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共 6 节课.
(1)若数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？
(2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？
(3)原定的 6 节课已排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理 3 节课，若将这 3 节课插入原课表中且原来的 6 节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？

答案： 解：
(1)若数学必须比语文先上，则不同的排法有$\frac{A_{6}^{6}}{A_{2}^{2}}=\frac{6×5×4×3×2×1}{2}=360$(种).
(2)如果体育排在最后一节，那么有$A_{5}^{5}=120$种排法，如果体育不排在最后一节，也不排在第一节，且数学不排在最后一节，有$4×4× A_{4}^{4}=384$种排法.所以共有$120 + 384 = 504$种排法.
(3)若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有$\frac{A_{9}^{3}}{A_{3}^{3}}=9×8×7 = 504$种不同的排法.

1. 求满足 $ nA_{n}^{3}＞3A_{n}^{2} $ 且 $ A_{8}^{n + 2}＜6A_{8}^{n} $ 的 $ n $ 的值.

答案： 解：这两个不等式可转化为$\begin{cases}n^{2}(n - 1)(n - 2)＞3· n·(n - 1),①\frac{8!}{(6 - n)!}＜6·\frac{8!}{(8 - n)!},②\end{cases}$ $\because n - 1＞0$，$\therefore$①式可化为$n^{2}(n - 2)＞3$，即$n^{3}-2n^{2}-3＞0$，解得$n＞3$或$n＜-1$(舍去).由②得$\frac{8!}{(6 - n)!}＜\frac{6·8!}{(8 - n)(7 - n)(6 - n)!}$，$\therefore(8 - n)(7 - n)＜6$，即$n^{2}-15n + 50＜0$，解得$5＜n＜10$.由排列数的意义知$n\geq3$，且$n + 2\leq8$，$\therefore3\leq n\leq6$，综上，$5＜n\leq6$，又$n\in N^{*}$，$\therefore n = 6$.

2. (1)用 0，1，2，3，4，5 这六个数字可以组成多少个无重复数字的分别满足下列条件的整数？
①能被 5 整除的五位数；
②能被 3 整除的五位数.
(2)若将 0，1，2，3，4，5 这六个数字组成的所有无重复数字的六位数按从小到大的顺序组成一个数列，则 240135 是第几项？

答案： 解：
(1)个位上的数字必须是0或5.当个位数字是0时，有$A_{4}^{4}$个；当个位数字是5时，若不含数字0，则有$A_{4}^{4}$个；若含数字0，但0不在首位，则0的位置有$A_{1}^{1}$种排法，其余各位有$A_{4}^{3}$种排法，故共有$A_{4}^{4}+A_{4}^{4}+A_{1}^{1}A_{4}^{3}=216$个能被5整除的五位数. ②能被3整除的数的条件是各位数字之和能被3整除，则5个数有$\{1,2,3,4,5\}$和$\{0,1,2,4,5\}$两种情况，能够组成的五位数分别有$A_{5}^{5}$个和$A_{4}^{1}A_{4}^{4}$个.故能被3整除的五位数有$A_{5}^{5}+A_{4}^{1}A_{4}^{4}=216$(个).
(2)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1时有$A_{5}^{5}$个数，首位数字为2时，万位上的数字为0,1,3中的一个有$3A_{4}^{4}$个数，$\therefore240135$的项数是$A_{5}^{5}+3A_{4}^{4}+1 = 193$，即240135是数列的第193项.