《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

1. 观察如图所示“杨辉三角”中的数所成的规律，则$a$所表示的数是(B)

A.$5$
B.$6$
C.$8$
D.$10$

答案： B[提示：由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以$a = 3 + 3 = 6$.]

2. 将杨辉三角中的奇数换成$1$，偶数换成$0$，得到如图所示的三角数表. 从上往下数，第$1$次全行的数都为$1$的是第$1$行，第$2$次全行的数都为$1$的是第$3$行，…，第$n$次全行的数都为$1$的是第2^{n}-1行，第$61$行中$1$的个数是32.

答案： $(2^{n}-1)$ 32[提示：观察可得第1行、第3行、第7行、…全行都为1，故第$n$次全行的数都为1的是第$(2^{n}-1)$行；当$n = 6$时，$2^{6}-1 = 63$，故第63行的数共有64个1，递推知第62行的数共有32个1，第61行的数共有32个1.]

3. $(1+\sqrt{x})^{10}$的展开式的二项式系数的和是1024.(用数字作答)

答案： 1024[提示：$(1 + \sqrt{x})^{10}$的展开式的二项式系数的和是$2^{10} = 1024$.]

4. 在二项式$(a + b)^n$的展开式中，奇数项的二项式系数的和为$4^7$，则$n =$15.

答案： 15[提示：因为在二项式$(a + b)^{n}$的展开式中，奇数项的二项式系数的和为$2^{n - 1}$，所以$2^{n - 1} = 4^{7} = 2^{14}$，解得$n = 15$.]

5. 在二项式$(3x - 2y)^9$的展开式中，求：
（1）二项式系数之和；
（2）各项系数之和；
（3）所有奇数项系数之和.

答案： 解：设$(3x - 2y)^{9} = a_{0}x^{9} + a_{1}x^{8}y + a_{2}x^{7}y^{2} + ·s + a_{9}y^{9}$.
(1)二项式系数之和为$C_{9}^{0} + C_{9}^{1} + C_{9}^{2} + ·s + C_{9}^{9} = 2^{9}$.
(2)各项系数之和为$a_{0} + a_{1} + a_{2} + ·s + a_{9}$，令$x = 1$，$y = 1$，所以$a_{0} + a_{1} + a_{2} + ·s + a_{9} = (3 - 2)^{9} = 1$.
(3)令$x = 1$，$y = -1$，可得$a_{0} - a_{1} + a_{2} - ·s - a_{9} = 5^{9}$，又$a_{0} + a_{1} + a_{2} + ·s + a_{9} = 1$，将两式相加可得$a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} = \frac{5^{9} + 1}{2}$，即所有奇数项系数之和为$\frac{5^{9} + 1}{2}$.

6. 若对于任意实数$x$，有$x^3 = a_0 + a_1(x - 2) + a_2(x - 2)^2 + a_3(x - 2)^3$，则$a_2$的值为(B)

A.$3$
B.$6$
C.$9$
D.$12$

答案： B[提示：$x^{3} = [2 + (x - 2)]^{3} = C_{3}^{0} · 2^{3}(x - 2)^{0} + C_{3}^{1}2^{2} · (x - 2) + C_{3}^{2}2(x - 2)^{2} + C_{3}^{3}(x - 2)^{3} = 8 + 12(x - 2) + 6(x - 2)^{2} + (x - 2)^{3}$，故$a_{2} = 6$.]

7. 若$(x^2 - 3x + 2)^5 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ·s + a_{10}x^{10}$.
（1）求$a_1 + a_2 + ·s + a_{10}$；
（2）求$(a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10})^2 - (a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9)^2$.

答案： 解：
(1)令$f(x) = (x^{2} - 3x + 2)^{5} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ·s + a_{10} · x^{10}$，则$a_{0} = f(0) = 2^{5} = 32$，$a_{0} + a_{1} + a_{2} + ·s + a_{10} = f(1) = 0$，故$a_{1} + a_{2} + ·s + a_{10} = -32$.
(2)$(a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10})^{2} - (a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9})^{2} = (a_{0} + a_{1} + a_{2} + ·s + a_{10}) · (a_{0} - a_{1} + a_{2} - ·s + a_{10}) = f(1) · f(-1) = 0$.

8. $(1 + x)^{2n + 1}$的展开式中，二项式系数最大的项所对应的项数是(C)

A.$n$，$n + 1$
B.$n - 1$，$n$
C.$n + 1$，$n + 2$
D.$n + 2$，$n + 3$

答案： C[提示：该式的展开式共有$(2n + 2)$项，中间两项为第$(n + 1)$项与第$(n + 2)$项，所以第$(n + 1)$项与第$(n + 2)$项为二项式系数最大的项.]

9. $(2025·$河南洛阳高二下期中$)(3 + x)^{12}$的展开式中系数最大的是(B)

A.$x^2$的系数
B.$x^3$的系数
C.$x^4$的系数
D.$x^5$的系数

答案： B[提示：设$(3 + x)^{12}$的展开式的通项为$T_{k + 1} = C_{12}^{k}3^{12 - k}x^{k}$，$k \in \{0,1,2,3,·s,12\}$，由题意可得$\begin{cases}C_{12}^{k}3^{12 - k} \geqslant C_{12}^{k + 1}3^{11 - k}\\C_{12}^{k}3^{12 - k} \geqslant C_{12}^{k - 1}3^{13 - k}\end{cases}$，解得$\frac{9}{4} \leqslant k \leqslant \frac{13}{4}$，因为$k \in \{0,1,2,3,·s,12\}$，所以$k = 3$，所以$(3 + x)^{12}$的展开式中系数最大的是$x^{3}$的系数.]

1. 【题型二】$(2025·$河北石家庄四十一中高二下期中$)$ [多选] $(1 + 2x)^{15}$的展开式中，下列说法正确的有(BC)

A.偶数项二项式系数和为$2^{15}$
B.奇数项的系数和为$\dfrac{3^{15} - 1}{2}$
C.第$8$项与第$9$项的二项式系数相等
D.第$9$项的系数最大

答案： BC[提示：对于A，展开式偶数项二项式系数之和为$2^{14}$，故A错误；对于B，设$(1 + 2x)^{15} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ·s + a_{15}x^{15}$，令$x = 1$得$a_{0} + a_{1} + a_{2} + ·s + a_{15} = 3^{15}$，令$x = -1$得$a_{0} - a_{1} + a_{2} - ·s - a_{15} = -1$，两式相加得$a_{0} + a_{2} + ·s + a_{14} = \frac{3^{15} - 1}{2}$，故B正确；对于C，第8项二项式系数为$C_{15}^{7}$，第9项二项式系数为$C_{15}^{8}$，$C_{15}^{7} = C_{15}^{8}$，故C正确；对于D，二项展开式的通项为$T_{k + 1} = C_{15}^{k} · 2^{k} · x^{k}$，由$\begin{cases}\frac{2×15!}{k!(15 - k)!} \geqslant \frac{15!}{(k - 1)!(15 - k + 1)!}\frac{15!}{k!(15 - k)!} \geqslant \frac{2×15!}{(k + 1)!(15 - k - 1)!}\end{cases}$，即$\begin{cases}2(15 - k + 1) \geqslant k + 1\\k + 1 \geqslant 2(15 - k)\end{cases}$，解得$\frac{29}{3} \leqslant k \leqslant \frac{32}{3}$，所以$k = 10$，即第11项系数最大，故D错误.]

2. 【题型二】在$\left(\sqrt{x} + \dfrac{3}{x}\right)^n$的展开式中，各二项式系数之和为$64$，则展开式中常数项为(A)

A.$135$
B.$105$
C.$30$
D.$15$

答案： 135[提示：$(\sqrt{x} + \frac{3}{x})^{n}$的展开式为$T_{k + 1} = C_{n}^{k}x^{\frac{3}{2}}(\frac{3}{x})^{k}$，令$\frac{3}{2} - \frac{k}{2} - k = 0$得$k = 2$，故展开式中常数项为135.]