《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

8. 【题型二、三】（2025·黑龙江哈尔滨师大附中高二下月考）某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司中选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标. 现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从 6 个招标问题中各随机抽取 3 个问题回答. 已知这 6 个招标问题中，甲公司可正确回答其中 4 道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 $ \frac{2}{3} $，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立、互不影响的.
（1）求甲、乙两家公司共答对 2 道题目的概率；
（2）设甲公司答对题数为随机变量 $ X $，求 $ X $ 的分布列、数学期望和方差；
（3）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？

答案： 8.解:
(1)记“甲、乙两家公司共答对$2$道题”的事件为$A$,它
是甲、乙各答对$1$道题的事件、甲答对$2$题乙没答对题的事
件和,它们互斥,所以$P(A)=\frac{C_{2}^{1}C_{2}^{1}C_{2}^{1}}{C_{3}^{2}} × \frac{C_{1}^{1}C_{2}^{1}}{C_{3}^{2}}(\frac{2}{3})^{2}+$
$\frac{C_{2}^{2}C_{2}^{0}C_{2}^{1}}{C_{3}^{2}} × \frac{C_{1}^{1}C_{2}^{1}}{C_{3}^{2}} × (1 - \frac{2}{3})^{3}=\frac{1}{15}$,所以甲、乙两家公司共答对$2$道题目
的概率是$\frac{1}{15}$.
(2)设甲公司答对题数为$X$,则$X$的取值分
别为$1,2,3$,$P(X = 1)=\frac{C_{2}^{1}C_{2}^{1}}{C_{3}^{2}}=\frac{1}{5}$,$P(X = 2)=\frac{C_{2}^{2}C_{2}^{0}}{C_{3}^{2}}=\frac{3}{5}$,$P(X$
$=3)=\frac{C_{2}^{0}C_{2}^{3}}{C_{3}^{3}}=\frac{1}{5}$,所以$X$的分布列为:
$X$ $1$ $2$ $3$
$P$ $\frac{1}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{1}{5}$
故期望$E(X)=1 × \frac{1}{5}+2 × \frac{3}{5}+3 × \frac{1}{5}=2$,方差$D(X)=(1 - 2)^{2}$
$× \frac{1}{5}+(2 - 2)^{2} × \frac{3}{5}+(3 - 2)^{2} × \frac{1}{5}=\frac{2}{5}$.
(3)设乙公司答对题
数为$Y$,则$Y$的取值分别为$0,1,2,3$,$P(Y = 0)=(\frac{1}{3})^{3}=\frac{1}{27}$,
$P(Y = 1)=C_{3}^{1} × \frac{2}{3} × (\frac{1}{3})^{2}=\frac{2}{9}$,$P(Y = 2)=C_{3}^{2} × (\frac{2}{3})^{2} × \frac{1}{3}=$
$\frac{4}{9}$,$P(Y = 3)=(\frac{2}{3})^{3}=\frac{8}{27}$,所以$Y$的分布列为:
$Y$ $0$ $1$ $2$ $3$
$P$ $\frac{1}{27}$ $\frac{2}{9}$ $\frac{4}{9}$ $\frac{8}{27}$
故期望$E(Y)=0 × \frac{1}{27}+1 × \frac{2}{9}+2 × \frac{4}{9}+3 × \frac{8}{27}=2$,方差$D(Y)=$
$(0 - 2)^{2} × \frac{1}{27}+(1 - 2)^{2} × \frac{2}{9}+(2 - 2)^{2} × \frac{4}{9}+(3 - 2)^{2} × \frac{8}{27}=\frac{2}{3}$,显
然$E(X)=E(Y)$,$D(X)＜D(Y)$,所以甲公司竞标成功的可
能性更大.

9. 【题型三】哈尔滨冬奥会志愿者有 6 名男同学，4 名女同学. 在这 10 名志愿者中，3 名同学来自哈尔滨工业大学，其余 7 名同学分别来自哈尔滨工程大学、东北农业大学等其他互不相同的 7 所大学. 现从这 10 名志愿者中随机选取 3 名同学到机场参加活动.（每位同学被选中的可能性相等）
（1）求选出的 3 名同学是来自互不相同的大学的概率；
（2）设 $ X $ 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 $ X $ 的期望和方差.

答案： 9.解:
(1)设选出的$3$名同学来自互不相同的大学为事件$A$,
则$P(A)=\frac{C_{3}^{1}C_{4}^{1}C_{3}^{1}+C_{3}^{0}C_{4}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{49}{60}$.
(2)由题可知随机变量$X$的
所有可能取值为$0,1,2,3$,$P(X = 0)=\frac{C_{4}^{0}C_{6}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{6}$,$P(X = 1)=\frac{C_{4}^{1}C_{6}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{2}$,
$P(X = 2)=\frac{C_{4}^{2}C_{6}^{1}}{C_{10}^{3}}=\frac{3}{10}$,$P(X = 3)=\frac{C_{4}^{3}C_{6}^{0}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{30}$,$\therefore X$
的分布列为:
$X$ $0$ $1$ $2$ $3$
$P$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{1}{30}$
$\therefore E(X)=0 × \frac{1}{6}+1 × \frac{1}{2}+2 × \frac{3}{10}+3 × \frac{1}{30}=\frac{6}{5}$,$D(X)=(0 - \frac{6}{5})^{2} ×$
$\frac{1}{6}+(1 - \frac{6}{5})^{2} × \frac{1}{2}+(2 - \frac{6}{5})^{2} × \frac{3}{10}+(3 - \frac{6}{5})^{2} × \frac{1}{30}=\frac{14}{25}$.