《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

12. 【题型三】2025 年这个寒假，国产 AI 助手 DeepSeek 在全球掀起一场科技风暴，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心. 在测试 DeepSeek 时，如果输入问题没有语法错误，DeepSeek 的回答被采纳的概率为 80%；如果出现语法错误，DeepSeek 的回答被采纳的概率为 50%. 现已知输入的问题中出现语法错误的概率为 10%.
(1)求 DeepSeek 的回答被采纳的概率；
(2)现已知 DeepSeek 的回答被采纳，求该问题的输入语法没有错误的概率.

答案： 12.解：
(1)记事件$A$：DeepSeek中输入的语法无错误，事件$B$：DeepSeek中输入的语法有错误，事件$C$：DeepSeek的回答被采纳，依题意得$P(A)=0.9$，$P(B)=0.1$，$P(C|A)=0.8$，$P(C|B)=0.5$，所以$P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.9×0.8+0.1×0.5=0.77$。
(2)$P(A|C)=\frac{P(AC)}{P(C)}=\frac{P(A)P(C|A)}{P(C)}=\frac{0.9×0.8}{0.9×0.8+0.1×0.5}=\frac{72}{77}$。

13. 【题型一、二】(2025·辽宁锦州一中高二下期中)科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生. 目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类. 现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有 5 份男生档案和 3 份女生档案，第二个档案袋内有 2 份男生档案和 4 份女生档案.
(1)若从第一个档案袋中随机依次取出 2 人的档案，每次取出的档案不再放回.
①求取出的这 2 人的档案中有女生档案的概率；
②求在取出的这 2 人的档案中有女生的条件下，第 2 次取出的档案是女生的概率；
(2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案袋中取出的档案是女生的概率.

答案： 13.解：
(1)①设事件$A$为“取出的$2$人的档案中有女生档案”，则$\overline{A}$为“取出的$2$人的档案中没有女生档案”。第一个档案袋内有$5$份男生档案和$3$份女生档案，总共$8$份档案。第一次取到男生档案的概率为$\frac{5}{8}$，因为不放回，此时剩下$7$份档案，其中男生有$4$份，所以第二次取到男生档案的概率为$\frac{4}{7}$，那么$P(\overline{A})=\frac{5}{8}×\frac{4}{7}=\frac{5}{14}$，所以$P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{5}{14}=\frac{9}{14}$。②设事件$B$为“第$2$次取出的档案是女生”，事件$A$为“取出的$2$人的档案中有女生档案”。根据条件概率公式$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$，计算$P(AB)$，即取出的$2$人档案中有女生且第$2$次取出的是女生的概率。分两种情况：第一种情况，第一次取男生第二次取女生，概率为$\frac{5}{8}×\frac{3}{7}=\frac{15}{56}$；第二种情况，第一次取女生第二次取女生，概率为$\frac{3}{8}×\frac{2}{7}=\frac{6}{56}$，所以$P(AB)=\frac{15}{56}+\frac{6}{56}=\frac{21}{56}=\frac{3}{8}$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{3}{8}}{\frac{9}{14}}=\frac{7}{12}$。
(2)设事件$C$为“从第二个档案袋中取出的档案是女生”。分两种情况：若从第一个档案袋中取出的是男生档案，概率为$\frac{5}{8}$，此时第二个档案袋中有$3$份男生档案和$4$份女生档案，共$7$份档案，那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为$\frac{4}{7}$，这种情况下的概率为$\frac{5}{8}×\frac{4}{7}=\frac{5}{14}$；若从第一个档案袋中取出的是女生档案，概率为$\frac{3}{8}$，此时第二个档案袋中有$2$份男生档案和$5$份女生档案，共$7$份档案，那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为$\frac{5}{7}$，这种情况下的概率为$\frac{3}{8}×\frac{5}{7}=\frac{15}{56}$，所以$P(C)=\frac{5}{14}+\frac{15}{56}=\frac{20+15}{56}=\frac{35}{56}=\frac{5}{8}$。

1. 从混有 5 张假钞的 20 张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率为$\frac{2}{17}$.

答案： 1.$\frac{2}{17}$[提示：设$A=$“抽到的两张都是假钞”，$B=$“抽到的两张中至少有一张是假钞”，则所求概率为$P(A|B)$，因为$P(AB)=P(A)=\frac{C_{2}^{2}}{C_{20}^{2}}$，$P(B)=\frac{C_{2}^{2}+C_{1}^{1}C_{15}^{1}}{C_{20}^{2}}$，$\therefore P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{\frac{C_{2}^{2}}{C_{20}^{2}}}{\frac{C_{2}^{2}+C_{1}^{1}C_{15}^{1}}{C_{20}^{2}}}=\frac{C_{2}^{2}}{C_{2}^{2}+C_{1}^{1}C_{15}^{1}}=\frac{1}{1+30}=\frac{2}{17}$.]

2. 盒子里有 25 个只有颜色不相同的球，其中有 10 个白色的，5 个黄色的，10 个黑色的. 从盒子中任意取出一个球，已知这个球不是黑球，则取出的球是黄球的概率为$\frac{1}{3}$.

答案： 2.$\frac{1}{3}$[提示：设取出不是黑球的事件为$A$，取出黄球的事件为$B$，则$P(A)=\frac{25-10}{25}=\frac{3}{5}$，$P(AB)=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$，故$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{1}{3}$.]