《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

10. 某诗词大会共设有十场比赛，每场比赛都有一首特别设计的开场诗词.若将《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有(C)

A.144 种
B.48 种
C.36 种
D.72 种

答案： C[提示：将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列有$A_{3}^{3}=6$种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在除最后一个空外的3个空里，有$A_{3}^{2}=6$种排法，则后六场开场诗词的排法有$6×6 = 36$(种).]

11. (2025·河北石家庄二中月考)4 个男生、3 个女生站成一排.
(1)3 个女生必须站在一起，有多少种不同的排法？
(2)任何两个女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3)甲、乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？

答案： 解：
(1)将3个女生作为一个元素与其余的4个元素进行全排列有$A_{3}^{3}A_{5}^{5}=720$(种).
(2)男生排好后，将3个女生插入5个空，有$A_{4}^{4}A_{5}^{3}=1440$(种).
(3)甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与剩余的2个元素全排列，有$A_{2}^{2}A_{5}^{3}A_{3}^{3}=720$(种).

12. 书架上某层有 6 本不同的书，新买了 3 本不同的书要插进去，要保持原来 6 本书的原有顺序不变，有多少种插法？

答案： 解法1：把书架上这一层欲排的9本书看成9个位置，将新买的3本书放入这9个位置中的3个，其余的6本书按原来的顺序依次放入，因此不同的插法种数为$A_{9}^{3}=504$.解法2：将新买来的3本书逐一插进去：第1本书插入6本书形成的7个空位中的1个，有7种插法；第2本书插入现在的7本书形成的8个空位中的1个，有8种插法；最后1本书插入现在的8本书形成的9个空位中的1个，有9种插法.由分步乘法计数原理知，不同的插法共有$7×8×9 = 504$(种).

13. (2025·安徽合肥一中月考)(1)求证：$ \frac{n}{(n + 1)!} = \frac{1}{n!}-\frac{1}{(n + 1)!} $；
(2)计算 $ 1×1! + 2×2! + 3×3! +·s+20×20! $. (计算结果用含阶乘的式子表示即可)

答案：
(1)证明：右边$=\frac{(n + 1)!}{n!(n + 1)!}·\frac{-n!}{(n - 1)!}=\frac{(n + 1)· n!}{n!(n + 1)!}·\frac{-n!}{(n - 1)!}=\frac{n· n!}{n!(n + 1)!}=\frac{n}{(n + 1)!}=$左边，得证.
(2)解：$\because n× n!=(n + 1)!-n!$，$\therefore$原式$=(2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+·s+(21!-20!)=21!-1$.

1. 【题型一】$ (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)·s(x - 14)(x\in\mathbf{N}^{*},x＞15) $ 可表示为(B)

A.$ A_{x - 1}^{13} $
B.$ A_{x - 1}^{14} $
C.$ A_{x - 14}^{13} $
D.$ A_{x - 14}^{14} $

答案： B[提示：逆用排列数的公式求解.由题意得$x\in N^{*}$，$x＞15$，$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)·s(x - 14)=A_{x - 1}^{14}$.]

2. 【题型二、三】中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，每天连排六节，每“艺”一节，排课有如下要求：“礼”和“数”不能相邻，“射”和“乐”必须相邻.则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有(D)

A.24 种
B.72 种
C.96 种
D.144 种

答案： D[提示：根据题意，分两步进行分析：①“射”和“乐”要相邻，将两者看成一个整体，与“御”“书”全排列，不同的排法有$A_{2}^{2}A_{3}^{3}=12$(种).②排好后形成4个空位，在其中任选2个，安排“礼”和“数”，不同的排法有$A_{4}^{2}=12$(种)，则符合题意的排法有$12×12 = 144$(种).]

3. 【题型一、二、三】[多选]甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(ABCD)

A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有 24 种
B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 42 种
C.甲、乙不相邻的排法有 72 种
D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有 20 种

答案： ABCD[提示：对于A，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲、乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有$A_{4}^{4}=24$(种).对于B，最左端排甲时，有$A_{4}^{4}=24$种不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，则有$A_{3}^{1}A_{3}^{3}=18$种不同的排法，则不同的排法共有$24 + 18 = 42$种.对于C，因为甲、乙不相邻，所以先排甲、乙以外的三人，再让甲、乙插空，则有$A_{3}^{3}A_{4}^{2}=72$(种).对于D，甲、乙、丙按从左到右的顺序排列有$\frac{A_{5}^{5}}{A_{3}^{3}}=20$(种).]

4. 【题型二】(2025·山东济南一中月考)[多选]阶乘是基斯顿·卡曼(Christian Kramp)于 1808 年发明的一种运算，正整数 $ n $ 的阶乘记为 $ n! $，它的值为所有小于或等于 $ n $ 的正整数的积，即 $ n! = 1×2×3×(n - 1)× n $. 根据上述材料，以下说法正确的是(ABC)

A.$ 4! = 24 $
B.$ 8! = 40320 $
C.$ 12! = 12×11! $
D.$ 1!+\frac{2!}{1!}+\frac{3!}{2!}+·s+\frac{n!}{(n - 1)!} = n! $

答案： ABC[提示：根据阶乘的定义可得$4! = 1×2×3×4 = 24$，故A正确；$8! = 1×2×3×·s×8 = 40320$，故B正确；$12! = 1×2×3×·s×12 = 479001600$，$11!×12 = 11!×12$，$C$正确；$1!+\frac{2!}{1!}+\frac{3!}{2!}+·s+\frac{n!}{(n - 1)!}=1 + 2+3+·s + n\neq n!$，故D错误.]