《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

1. 二项式$(a + b)^{2n}$的展开式的项数是(B)

A.$2n$
B.$2n + 1$
C.$2n - 1$
D.$2(n + 1)$

答案： 1.B[提示：根据二项式定理可知，展开式共有$(2n+1)$项.]

2. 化简：$C_{n}^{0}(x + 1)^{n} - C_{n}^{1}(x + 1)^{n - 1} + C_{n}^{2}(x + 1)^{n - 2} - ·s + (-1)^{k}C_{n}^{k}(x + 1)^{n - k} + ·s + (-1)^{n}C_{n}^{n} =$$x^{n}$。

答案： 2.$x^{n}$[提示：原式=$C_{n}^{0}(x+1)^{n}+C_{n}^{1}(x+1)^{n-1}(-1)+C_{n}^{2}(x+1)^{n-2}· (-1)^{2}+·s+C_{n}^{k}(x+1)^{n-k}(-1)^{k}+·s+C_{n}^{n}(-1)^{n}=[(x+1)+(-1)]^{n}=x^{n}$.]

3. (教材改编题)在$(1 - 2x)^{6}$展开式中，$x^{3}$的系数为(D)

A.$20$
B.$-20$
C.$160$
D.$-160$

答案： 3.D[提示：$(1-2x)^{6}$展开式通项为$T_{k+1}=C_{6}^{k}· 1^{6-k}· (-2)^{k}x^{k}=C_{6}^{k}(-2)^{k}x^{k}$，令$k=3$，可得$T_{4}=C_{6}^{3}(-2)^{3}x^{3}=-160x^{3}$，所以$x^{3}$的系数为$-160$.]

4. （教材改编题）$(x + \frac{2}{\sqrt{x}})^{6}$的二项展开式中常数项是240。

答案： 4.240[提示：$(x+\frac{2}{\sqrt{x}})^{6}$的二项展开式通项为$T_{k+1}=C_{6}^{k}x^{6-k}(\frac{2}{\sqrt{x}})^{k}$，$(\frac{2}{\sqrt{x}})^{k}=2^{k}· C_{6}^{k}x^{6-\frac{3k}{2}}$，令$6-\frac{3k}{2}=0$，解得$k=4$，$\therefore (x+\frac{2}{\sqrt{x}})^{6}$的二项展开式中常数项为$2^{4}× C_{6}^{4}=16×15=240$.]

5. 在$(x^{2} + 2)(\frac{1}{x} + 1)^{8}$的展开式中，常数项为(D)

A.$27$
B.$28$
C.$29$
D.$30$

答案： 5.D[提示：$(\frac{1}{x}+1)^{8}$的展开式的通项为$T_{k+1}=C_{8}^{k}(\frac{1}{x})^{8-k}1^{k}$，则$\frac{1}{x^{2}}$的系数是$C_{8}^{6}=28$，常数项是$C_{8}^{8}=1$，$\therefore (x^{2}+2)· (\frac{1}{x}+1)^{8}$的展开式中常数项为$2×1+28=30$.]

6. 在$(x + \frac{3}{x^{2}})(x - 2)^{5}$的展开式中，$x$的系数是(C)

A.$-32$
B.$152$
C.$88$
D.$-272$

答案： 6.C[提示：$(x+\frac{3}{x^{2}})(x-2)^{5}$的展开式中含$x$的项为$x· C_{5}^{5}· x^{0}· (-2)^{5}+\frac{3}{x^{2}}· C_{5}^{2}x^{3}· (-2)^{2}=-32x+120x=88x$，所以展开式中含$x$的项的系数为88.]

7. (2025·上海宜川中学高二下期末)在$(1 - x)^{3}(1 + x)^{5}$的展开式中，$x^{4}$的系数是0(结果用数字表示)。

答案： 7.0[提示：根据多项式乘法展开式的原理及分步乘法计数原理和分类加法计数原理可知：$x^{4}$有以下几种方法得到：①从$(1-x)^{3}$的3个括号中选0个$-x$，$(1+x)^{5}$的5个括号中选4个$x$；②从$(1-x)^{3}$的3个括号中选1个$-x$，$(1+x)^{5}$的5个括号中选3个$x$；③从$(1-x)^{3}$的3个括号中选2个$-x$，$(1+x)^{5}$的5个括号中选2个$x$；④从$(1-x)^{3}$的3个括号中选3个$-x$，$(1+x)^{5}$的5个括号中选1个$x$.$\therefore x^{4}$的系数为$C_{3}^{0}× C_{5}^{4}+C_{3}^{1}×(-1)× C_{5}^{3}+C_{3}^{2}× (-1)^{2}× C_{5}^{2}+C_{3}^{3}× (-1)^{3}× C_{5}^{1}=5-30+30-5=0$.]

8. （2025·山东济南实验高二下月考）求$(1 - 2x)^{5}(1 + 3x)^{4}$的展开式中按$x$的升幂排列的第$3$项。

答案： 8.解：$(1-2x)^{5}(1+3x)^{4}$的展开式中按$x$的升幂排列的第3项为$x^{2}$项，而$(1-2x)^{5}(1+3x)^{4}=C_{5}^{m}(-2x)^{m}· C_{4}^{n}(3x)^{n}=(-2)^{m}· 3^{n}C_{5}^{m}C_{4}^{n}x^{m+n}$，则当$m=0,n=2$时，为$(-2)^{0}3^{2}C_{5}^{0}C_{4}^{2}x^{2}=54x^{2}$；当$m=1,n=1$时，为$(-2)^{1}3^{1}C_{5}^{1}C_{4}^{1}x^{2}=-120x^{2}$；当$m=2,n=0$时，为$(-2)^{2}3^{0}C_{5}^{2}C_{4}^{0}x^{2}=40x^{2}$.因此$x^{2}$项为$54x^{2}-120x^{2}+40x^{2}=-26x^{2}$，所以按$x$的升幂排列的第3项为$-26x^{2}$.

9. 在$(x - 2)^{n}(n \in N^{*})$的展开式中，第$3$项与第$4$项的二项式系数相等，则$x^{2}$的系数等于(D)

A.$672$
B.$-672$
C.$80$
D.$-80$

答案： 9.D[提示：因为$(x-2)^{n}$的展开式中，第3项与第4项的二项式系数相等，所以$C_{n}^{2}=C_{n}^{3}$，所以$\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n!}{3!(n-3)!}$，所以$n-2=3\Rightarrow n=5$，所以$(x-2)^{5}$展开式的通项为$T_{k+1}=C_{5}^{k}x^{5-k}(-2)^{k}(k=0,1,·s,5)$，令$k=3\Rightarrow T_{4}=C_{5}^{3}x^{2}(-2)^{3}=-80x^{2}$，所以$x^{2}$项的系数为$-80$.]

10. 若二项式$(x - \frac{1}{\sqrt{x}})^{n}$的展开式中第$m$项为常数项，则$m$，$n$应满足(A)

A.$2n = 3(m - 1)$
B.$2n = 3m$
C.$2n = 3m + 1$
D.$2n = m$

答案： 10.A[提示：由题意，得$(x-\frac{1}{\sqrt{x}})^{n}$的展开式的通项为$T_{k+1}=(-1)^{k}C_{n}^{k}x^{n-\frac{3k}{2}}$，当$n=\frac{3}{2}k$，即$2n=3k$时，为常数项，此时$k=m-1$，所以$m,n$应满足$2n=3(m-1)$.]

1. 【题型一】化简多项式$(2x + 1)^{5} - 5(2x + 1)^{4} + 10(2x + 1)^{3} - 10(2x + 1)^{2} + 5(2x + 1) - 1$的结果是(D)

A.$(2x + 2)^{5}$
B.$2x^{5}$
C.$(2x - 1)^{5}$
D.$32x^{5}$

答案： 1.D[提示：原式=$[(2x+1)-1]^{5}=(2x)^{5}=32x^{5}$.]

2. 【题型二】二项式$(\sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{24}$的展开式中，有理项共有(D)

A.$3$项
B.$4$项
C.$5$项
D.$7$项

答案： 2.D[提示：展开式的通项为$T_{k+1}=C_{24}^{k}(\sqrt[6]{x})^{24-k}(\frac{1}{\sqrt{x}})^{k}=C_{24}^{k}· x^{6-\frac{3k}{4}}· x^{-\frac{k}{2}}=C_{24}^{k}· x^{6-\frac{3k}{4}-\frac{k}{2}}$，令$6-\frac{3k}{4}-\frac{k}{2}=Z$，且$k=0,1,2,3,·s,24$，则$k=0,4,8,12,16,20,24$，所以展开式的有理项共有7项.]

3. 【题型三】在$(ax^{2} - \frac{1}{x^{2}})^{5}$的展开式中，若$x^{2}$项的系数为$80$，则实数$a$的值为(B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 3.B[提示：展开式的通项为$T_{k+1}=C_{5}^{k}(ax^{2})^{5-k}(-\frac{1}{x^{2}})^{k}=C_{5}^{k}· a^{5-k}(-1)^{k}x^{10-4k}$，令$10-4k=2$，解得$k=2$，所以$x^{2}$的系数为$C_{5}^{2}· a^{3}· (-1)^{2}=10a^{3}=80$，解得$a=2$.]

4. 【题型三】$(1 + \frac{2}{x^{2}})(1 + x)^{6}$的展开式中$x^{3}$的系数为(B)

A.$26$
B.$32$
C.$46$
D.$50$

答案： 4.B[提示：$(1+\frac{2}{x^{2}})(1+x)^{6}$的展开式中含$x^{3}$的项为$1× C_{6}^{6}x^{3}+\frac{2}{x^{2}}× C_{6}^{5}x^{5}=20x^{3}+12x^{3}=32x^{3}$，所以$(1+\frac{2}{x^{2}})(1+x)^{6}$的展开式中$x^{3}$的系数为32.]

5. 【题型一】$15^{15}$除以$8$的余数为(D)

A.$-1$
B.$1$
C.$6$
D.$7$

答案： 5.D[提示：$15^{15}=(16-1)^{15}$，由$(16-1)^{15}$展开式的通项为$T_{k+1}=C_{15}^{k}16^{15-k}(-1)^{k}$，可得展开式前15项每一项都是8的倍数，最后一项为$-1$，则$15^{15}$除以8的余数为7.]

6. 【题型一】(教材改编题)下列能整除$55^{55} + 9$的数是(D)

A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$

答案： 6.D[提示：$55^{55}+9=(56-1)^{55}+9=C_{55}^{0}56^{55}+C_{55}^{1}56^{54}(-1)+·s+C_{55}^{54}56^{1}(-1)^{54}+C_{55}^{55}(-1)^{55}+9=56^{55}-C_{55}^{1}56^{54}+·s+C_{55}^{54}56+8$，能被8整除.]