《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

12. 【题型二、三】(2025·吉林通化五中高二下月考) 某校高一年级开设建模、写作、篮球、足球、音乐、朗诵、素描 7 门选修课,每位同学需彼此独立地选 3 门课程,其中甲同学选择篮球,不选择足球,丙同学不选素描,乙同学没有要求。
(1) 求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率;
(2) 用 $ X $ 表示甲、乙、丙三名同学选中建模的人数之和,求 $ X $ 的分布列和数学期望。

答案：
12.解：
(1)由题意，甲选择篮球，并在建模、写作、音乐、朗诵、素描$5$门里再选$2$门，则选中建模的概率为$\frac{C_{1}^{1}C_{4}^{1}}{C_{5}^{2}}=\frac{2}{5}$；乙同学没有要求，则选中建模的概率为$\frac{C_{3}^{1}C_{6}^{2}}{C_{7}^{3}}=\frac{3}{7}$.故甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率为$\frac{2}{5} × (1-\frac{3}{7})=\frac{8}{35}$.
(2)由
(1)知甲选中建模的概率为$\frac{2}{5}$，乙选中建模的概率为$\frac{3}{7}$，由题知丙选中建模的概率为$\frac{C_{1}^{1}C_{6}^{2}}{C_{7}^{3}}=\frac{1}{2}$，由题意得$X$可能的取值有$0,1,2,3$，故$P(X=0)=(1-\frac{2}{5}) × (1-\frac{3}{7}) × (1-\frac{1}{2})=\frac{6}{35},P(X=1)=\frac{2}{5} × (1-\frac{3}{7}) × (1-\frac{1}{2})+(1-\frac{2}{5}) × \frac{3}{7} × (1-\frac{1}{2})+(1-\frac{2}{5}) × (1-\frac{3}{7}) × \frac{1}{2}=\frac{29}{70},P(X=2)=\frac{2}{5} × \frac{3}{7} × (1-\frac{1}{2})+\frac{2}{5} × (1-\frac{3}{7}) × \frac{1}{2}+(1-\frac{2}{5}) × \frac{3}{7} × \frac{1}{2}=\frac{23}{70},P(X=3)=\frac{2}{5} × \frac{3}{7} × \frac{1}{2}=\frac{3}{35}$，所以$X$的分布列为：
故$E(X)=0 × \frac{6}{35}+1 × \frac{29}{70}+2 × \frac{23}{70}+3 × \frac{3}{35}=\frac{93}{70}$.

13. 【题型二、三】老师要从 7 道数学题中随机抽取 3 道考查学生,规定至少能做出 2 道即合格,某同学只会做其中的 5 道题。
(1) 求该同学合格的概率;
(2) 用 $ X $ 表示该同学抽到的 3 道题中会做的题目数量,求 $ X $ 的分布列及数学期望。

答案：
13.解：
(1)设“该同学成绩合格”为事件$A$，则$P(A)=\frac{C_{2}^{2}C_{2}^{1}+C_{3}^{3}}{C_{3}^{3}}=\frac{30}{35}=\frac{6}{7}$.
(2)$X$可能取的值为$1,2,3$.当$X=1$时，$P(X=1)=\frac{C_{5}^{2}C_{2}^{2}}{C_{3}^{3}}=\frac{5}{35}=\frac{1}{7}$；当$X=2$时，$P(X=2)=\frac{C_{5}^{2}C_{2}^{1}}{C_{3}^{3}}=\frac{20}{35}=\frac{4}{7}$；
当$X=3$时，$P(X=3)=\frac{C_{5}^{3}}{C_{3}^{3}}=\frac{10}{35}=\frac{2}{7}$，所以$X$的分布列为：
$E(X)=1 × \frac{1}{7}+2 × \frac{4}{7}+3 × \frac{2}{7}=\frac{15}{7}$.

投掷一枚质地均匀的硬币,若出现连续三次正面朝上的情况,则停止投掷,那么投掷总次数的数学期望为14_ 。

答案： 14[提示：方法一：设$A_{0}$为当前没有连续正面或者最近一次是反面，$A_{1}$为当前连续正面的次数为$1$，$A_{2}$为当前连续正面的次数为$2$，$A_{3}$为当前连续正面的次数为$3$，设$E_{i}$为分别表示从$A_{i}$投掷的期望次数，$i=0,1,2,3$，由题意得$E_{3}=0$，从$A_{0}$开始，若抛出正面，则期望次数变为$1+E_{1}$，若抛出反面，则期望次数变为$1+E_{0}$，即$E_{0}=\frac{1}{2}(1+E_{1})+\frac{1}{2}(1+E_{0})$，即$E_{0}=1+\frac{1}{2}E_{1}+\frac{1}{2}E_{0}$，所以$E_{0}=1+\frac{1}{2}E_{1}+\frac{1}{2}E_{0}$，同理$E_{1}=\frac{1}{2}(1+E_{0})+\frac{1}{2}(1+E_{2})=1+\frac{1}{2}E_{0}+\frac{1}{2}E_{2}$，$E_{2}=\frac{1}{2}(1+E_{1})+\frac{1}{2}(1+E_{3})=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}E_{1}$，所以$E_{0}-2=\frac{3}{2}+\frac{3}{4}E_{0}$，故$E_{0}=14$.
方法二：设投掷总次数为$X$，结果出现“正面朝上”记为成功，出现“反面朝上”记为失败，先进行第一次投掷，若第一次失败，因为试验失败对出现连续三次成功毫无帮助，可视作后续期望仍为$E(X)$，即投掷总次数为$E(X)+1$；若第一次成功，则进行第二次投掷，当第二次试验失败时，后续期望仍为$E(X)$，即投掷总次数为$E(X)+2$；在第一次、第二次都成功的前提下进行第三次试验，若成功则结束，此时试验次数为$3$，若失败则三次均无效，后续期望仍为$E(X)$，则$E(X)=\frac{1}{2}[E(X)+1]+\frac{1}{4}[E(X)+2]+\frac{1}{8} × 3+\frac{1}{8}[E(X)+3]$，故$E(X)=14.$]