《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

8. 【题型二、三】(2025·广东深圳实验中学高二期末) [多选] 我国新能源汽车电驱技术世界领先，新能源汽车主要分为两大类：一种是纯电，一种是混动. 某新能源汽车厂科研部对纯电类汽车和混动类汽车都使用的关键部件的某一指标进行测试，经统计纯电类部件的指标$X$和混动类部件的指标$Y$都服从正态分布，且$X \sim N ( 100, \sigma _ { 1 } ^ { 2 } )$，$Y \sim N ( 105, \sigma _ { 2 } ^ { 2 } )$，$0 ＜ \sigma _ { 1 } ＜ \sigma _ { 2 }$. 科研部规定：部件指标高于$110$的为优质品，部件指标低于$90$的为不合格品，则 (BC)

A.$P ( X ＜ 100 ) ＜ P ( Y ＞ 105 )$
B.$X$对应的正态曲线比$Y$对应的正态曲线“瘦高”
C.混动类部件优质品率高于其不合格品率
D.纯电类部件优质品率高于其不合格品率

答案： 8.BC[提示：根据正态分布的性质可知$P(X＜100)=0.5$，$P(Y＞105)=0.5$，所以$P(X＜100)=P(Y＞105)$，故A错误；因为$0＜\sigma_1＜\sigma_2$，所以$X$对应的正态曲线比$Y$对应的正态曲线“瘦高”，故B正确；因为$Y$对应的正态曲线的对称轴方程为$Y = 105$，所以$P(Y＜100)=P(Y＞110)$，又$P(Y＜90)＜P(Y＜100)$，所以$P(Y＜90)＜P(Y＞110)$，即混动类部件优质品率高于其不合格品率，故C正确；因为$X$对应的正态曲线的对称轴方程为$X = 100$，所以$P(X＜90)=P(X＞110)$，所以纯电类部件优质品率等于其不合格品率，故D错误。]

9. 【题型二、三】(2025·江苏徐州三中高二下月考) [多选] 在$2025$年科技产业创新浪潮中，我国某科研团队成功突破人形机器人核心零部件技术，研发出新一代高精度关节驱动部件. 该部件采用新型复合材料与智能制造工艺，其关键参数——长度(例如传动轴或连杆尺寸)经大规模生产检测后，被证实服从正态分布$N ( 20, \sigma ^ { 2 } )$，则下列说法正确的是 (BC)
A.$\sigma$越大，这一批产品的长度测试结果在$( 19, 21 )$内的概率越大
B.这一批产品的长度测试结果大于$20$的概率为$\frac { 1 } { 2 }$
C.这一批产品的长度测试结果在$( 20. 1, 20. 2 )$内的概率和在$( 19. 8, 19. 9 )$内的概率相等
D.这一批产品的长度测试结果大于$19. 5$的概率与小于$21. 5$的概率相等

答案： 9.BC[提示：由题意知正态分布密度曲线中当$\sigma$越小，密度曲线越集中，故A错误；由题意知正态分布密度曲线关于直线$x = 20$对称，故B，C正确，D错误。]

10. 【题型一】(2025·河南省实验高二下期中) [多选] 已知随机变量$X$，$Y$，且$X \sim N ( \mu _ { 1 }, \sigma _ { 1 } ^ { 2 } )$，$Y \sim N ( \mu _ { 2 }, \sigma _ { 2 } ^ { 2 } )$，其中$\mu _ { 1 }, \mu _ { 2 } \in \mathbf { R }$，$\sigma _ { 1 }, \sigma _ { 2 } \in \mathbf { R } ^ { + }$，则下列命题正确的是 (ACD)

A.若$\mu _ { 1 } = \mu _ { 2 }$，则$E ( X ) = E ( Y )$
B.若$\mu _ { 1 } = \mu _ { 2 }$，则$D ( X ) = D ( Y )$
C.若$\mu _ { 1 } = 2$，则$P ( X \leqslant 1 ) + P ( X \leqslant 3 ) = 1$
D.若$\sigma _ { 1 } = 2$，$\sigma _ { 2 } = 3$，则$P ( | X - \mu _ { 1 } | \leqslant 1 ) ＞ P ( | Y - \mu _ { 2 } | \leqslant 1 )$

答案： 10.ACD[提示：对于A，由正态分布的期望公式得$E(X)=\mu_1=\mu_2=E(Y)$，故A正确；对于B，由正态分布的方差公式得$D(X)=\sigma_1^2$，其与$\sigma_2^2$不一定相等，故B错误；对于C，由正态分布的对称性得$P(X\leq1)=P(X\geq3)$，所以$P(X\leq1)+P(X\leq3)=P(X\geq3)+P(X\leq3)=1$，故C正确；对于D，由$\sigma_1 = 2$，$\sigma_2 = 3$，得$\sigma_1^2 = 4$，$\sigma_2^2 = 9$，根据方差的性质$X$分布更集中，所以$P(|X - \mu_1|\leq1)＞P(|Y - \mu_2|\leq1)$，故D正确。]

11. 【题型二、三】(2025·黑龙江哈尔滨师大附中高二下月考) 某工厂生产一批机器零件，现随机抽取$100$件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据$X$，如下表：

(1) 求该项性能指标的样本平均数$\overline { x }$的值；若这批零件的该项指标$X$近似服从正态分布$N ( \mu, \sigma ^ { 2 } )$，其中$\mu$近似为样本平均数$\overline { x }$的值，$\sigma ^ { 2 } = 36$，试求$P ( 74 ＜ X \leqslant 92 )$的值.
(2) 若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的$2$倍，甲机床生产的零件的次品率为$0. 02$，乙机床生产的零件的次品率为$0. 01$，现从这批零件中随机抽取一件.
① 求这件零件是次品的概率；
② 若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；
③ 若从这批机器零件中随机抽取$300$件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在$( 74, 92 ]$内的零件个数为$Y$，求随机变量$Y$的数学期望(结果精确到整数).
(参考数据：若随机变量服从正态分布$N ( \mu, \sigma ^ { 2 } )$，则$P ( \mu - \sigma \leqslant \xi \leqslant \mu + \sigma ) \approx 0. 6827$，$P ( \mu - 2 \sigma \leqslant \xi \leqslant \mu + 2 \sigma ) \approx 0. 9545$，$P ( \mu - 3 \sigma \leqslant \xi \leqslant \mu + 3 \sigma ) \approx 0. 9973$)

答案： 11.解：
(1)$\bar{x}=66×0.1 + 77×0.2 + 80×0.48 + 88×0.19 + 96×0.03 = 80$。因为$X\sim N(80,36)$，所以$\sigma = 6$，故$P(74＜X\leq92)=\frac{1}{2}P(\mu - \sigma\leq X\leq\mu + 2\sigma)+\frac{1}{2}P(\mu - \sigma\leq X\leq\mu + \sigma)\approx\frac{0.9545 + 0.6827}{2}=0.8186$。
(2)①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件$A_1$，“抽取的零件为乙机床生产”记为事件$A_2$，“抽取的零件为次品”记为事件$B$，则$P(A_1)=\frac{2}{3}$，$P(A_2)=\frac{1}{3}$，$P(B|A_1)=0.02$，$P(B|A_2)=0.01$，所以$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)=\frac{2}{3}×0.02+\frac{1}{3}×0.01=\frac{0.05}{3}=\frac{1}{60}$。②$P(A_1|B)=\frac{P(A_1B)}{P(B)}=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}=\frac{\frac{2}{3}×0.02}{\frac{1}{60}}=\frac{4}{5}$。③由
(1)及
(2)①可知，这批零件是次品且性能指标在$(74,92]$内的概率$p=\frac{1}{60}×0.8186$，且随机变量$Y\sim B(300,p)$，所以$E(Y)=300p=300×\frac{1}{60}×0.8186\approx4.093\approx4$，所以随机变量$Y$的数学期望为4。