《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

1. (2025·河北衡水中学调研)已知甲、乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲、乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得 1 分，答错则对方得 1 分，甲、乙两人初始分均为 0 分，答题过程中当一人比另一人的得分多 2 分时，答题结束，且分高者获胜，若甲、乙两人总共答完 5 题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲、乙两人每次抢到题的概率都为$\frac{1}{2}$，甲、乙两人答对每道题的概率分别为$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{12}$，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.
(1)求第一题结束时甲获得 1 分的概率；
(2)记$X$表示知识竞赛结束时，甲、乙两人总共答题的数量，求$X$的分布列与期望.

答案： 1.解：
(1)每道题的抢答中，记甲得1分为事件$M,M$发生有两种可能：甲抢到题且答对，乙抢到题且答错，$\therefore P(M)=\frac{1}{2}× \frac{3}{4}+\frac{1}{2}×(1-\frac{5}{12})=\frac{2}{3},\therefore$第一题结束时甲获得1分的概率为$\frac{2}{3}$。
(2)由
(1)知，在每道题的抢答中甲、乙得1分的概率分别为$\frac{2}{3},\frac{1}{3}$，设两人共抢答了$X$道题比赛结束，根据比赛规则，$X$的可能取值为$2,4,5.P(X=2)=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{5}{9},P(X=4)=C_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×(\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3})=\frac{20}{81},P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=4)=\frac{16}{81}$，所以$X$的分布列为：
$X$ 2 4 5
$P$ $\frac{5}{9}$ $\frac{20}{81}$ $\frac{16}{81}$
故$E(X)=2×\frac{5}{9}+4×\frac{20}{81}+5×\frac{16}{81}=\frac{250}{81}$。

2. (2025·吉林长春东北师大附中月考)已知甲、乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有 7 道题，抢到并回答正确者得 1 分，答错则对方得 1 分，当其中一人得分领先另一人 3 分或 7 道题全部答完时比赛结束.甲、乙两人抢到每道题的概率都是$\frac{1}{2}$，甲正确回答每道题的概率均为$\frac{8}{9}$，乙正确回答每道题的概率均为$\frac{5}{9}$，且两人每道题是否回答正确均相互独立.
(1)求答完前两道题后两人各得 1 分的概率；
(2)设随机变量$X$为比赛结束时两人的答题总个数，求$X$的分布列和数学期望.

答案： 2.解：
(1)由题意可知，每道题都要抢题与答题，每人得1分有两种情况，“本人抢到且答对”与“对方抢到且答错”.设事件$A_i$为第$i$道题甲得1分$(i=1,2,3,4,5,6,7)$，事件$B_j$为第$j$道题乙得1分$(j=1,2,3,4,5,6,7)$，事件$C$为答完前两道题后两人各得1分，则$C=A_1B_2\cup B_1A_2$.所以事件$A_i$与$(i=j)$为对立事件，$A_i$与$B_j(i\neq j)$相互独立,$A_1B_2$与$B_1A_2$互斥，所以$P(A_i)=\frac{1}{2}×\frac{8}{9}+\frac{1}{2}×(1-\frac{5}{9})=\frac{2}{3}$，$P(B_j)=1-P(A_i)=\frac{1}{3}$,$P(C)=P(A_1B_2\cup B_1A_2)=P(A_1B_2)+P(B_1A_2)=P(A_1)P(B_2)+P(B_1)P(A_2)=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$.
(2)由题可知随机变量$X$的取值为$3,5,7$，所以$P(X=3)=P(A_1A_2A_3\cup B_1B_2B_3)=P(A_1A_2A_3)+P(B_1B_2B_3)=[P(A_i)]^3+[P(B_j)]^3=(\frac{2}{3})^3+(\frac{1}{3})^3=\frac{1}{3}$，$P(X=5)=P(B_1A_2A_3A_4A_5\cup A_1B_2A_3A_4A_5\cup A_1A_2B_3A_4A_5\cup A_1A_2A_3B_4A_5\cup B_1B_2A_3B_4B_5\cup B_1A_2B_3B_4B_5\cup A_1B_2B_3B_4B_5)=3×(\frac{2}{3})^4×\frac{1}{3}+3×(\frac{1}{3})^4×\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$，$P(X=7)=1-P(X=3)-P(X=5)=1-\frac{1}{3}-\frac{2}{9}=\frac{4}{9}$，所以随机变量$X$的分布列为：
$X$ 3 5 7
$P$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{9}$ $\frac{4}{9}$
所以$E(X)=3×\frac{1}{3}+5×\frac{2}{9}+7×\frac{4}{9}=\frac{47}{9}$.

3. (2025·黑龙江哈尔滨三中月考)甲、乙两同学进行答题比赛，比赛规则如下：每位选手从 4 道备选题中随机选取 2 道题独立作答.已知甲同学这 4 道题中只会 3 道题，乙同学每道题回答正确的概率都是$\frac{3}{4}$.记随机变量$X$和$Y$分别是甲、乙答对的题数.
(1)求“甲恰好答对 2 道题且乙也恰好答对 2 道题”的概率；
(2)若$Z = X + Y$，求随机变量$Z$的分布列、数学期望、方差.

答案： 3.解：
(1)甲答对2道题的概率为$P_1=\frac{C_{3}^{2}}{C_{4}^{2}}×\frac{1}{2}$，乙答对2道题的概率为$P_2=\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{9}{16}$，故“甲恰好答对2道题且乙也好答对2道题”的概率为$P=P_1P_2=\frac{1}{2}×\frac{9}{16}×\frac{9}{32}$.
(2)由题意知$X$可取$1,2,Y$可取$0,1,2$，故$Z$可取$1,2,3,4,P(Z=1)=P(X=1)P(Y=0)=\frac{C_{3}^{1}}{C_{4}^{2}}×(C_{2}^{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4})=\frac{1}{32}$，$P(Z=2)=P(X=2)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)=\frac{C_{3}^{2}}{C_{4}^{2}}×(C_{2}^{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4})+\frac{C_{1}^{1}}{C_{4}^{2}}×(C_{2}^{1}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4})=\frac{7}{32}$，$P(Z=3)=P(X=1)P(Y=2)+P(X=2)P(Y=1)=\frac{C_{1}^{1}}{C_{4}^{2}}×(C_{2}^{2}×\frac{3}{4}×\frac{3}{4})+\frac{C_{2}^{2}}{C_{4}^{2}}×(C_{2}^{1}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4})=\frac{15}{32}$，$P(Z=4)=P(X=2)P(Y=2)=\frac{C_{2}^{2}}{C_{4}^{2}}×(C_{2}^{2}×\frac{3}{4}×\frac{3}{4})=\frac{9}{32}$，故$Z$的分布列为：
$Z$ 1 2 3 4
$P$ $\frac{1}{32}$ $\frac{7}{32}$ $\frac{15}{32}$ $\frac{9}{32}$
故期望$E(Z)=1×\frac{1}{32}+2×\frac{7}{32}+3×\frac{15}{32}+4×\frac{9}{32}=3$,方差$D(Z)=1^2×\frac{1}{32}+2^2×\frac{7}{32}+3^2×\frac{15}{32}+4^2×\frac{9}{32}-3^2=\frac{5}{8}$.