《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

1. 已知随机变量 $ X $ 的分布列为：

试求 $ D(X) $ 和 $ D(2X - 1) $.

答案： 1.解:$E(X)=0 × 0.2 + 1 × 0.2+2 × 0.3+3 × 0.2 + 4 × 0.1 = 1.8$.所
以$D(X)=(0 - 1.8)^{2} × 0.2+(1 - 1.8)^{2} × 0.2+(2 - 1.8)^{2} × 0.3+$
$(3 - 1.8)^{2} × 0.2+(4 - 1.8)^{2} × 0.1 = 1.56$.所以$D(2X - 1)=$
$4D(X)=6.24$.

2. 已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于 6 环，且甲击中 10，9，8，7 环的概率分别为 $ 0.5,3a,a,0.1 $，乙击中 10，9，8 环的概率分别为 $ 0.3,0.3,0.2 $，甲、乙射击结果互不影响. 记甲、乙两名射手在一次射击击中的得分分别为 $ \xi,\eta $.
（1）求 $ \xi,\eta $ 的分布列；
（2）求 $ \xi,\eta $ 的数学期望与方差，并比较甲、乙两名射手的射击技术.

答案： 2.解:
(1)依题意,有$0.5 + 3a + a + 0.1 = 1$,解得$a = 0.1$.$\because$乙击
中$10$,$9$,$8$环的概率分别为$0.3$,$0.3$,$0.2$,$\therefore$乙击中$7$环
概率为$1-(0.3 + 0.3 + 0.2)=0.2$,$\therefore \xi$的分布列分别为:
$\xi$ $10$ $9$ $8$ $7$
$P$ $0.5$ $0.3$ $0.1$ $0.1$
$\eta$ $10$ $9$ $8$ $7$
$P$ $0.3$ $0.3$ $0.2$ $0.2$
(2)由
(1)可得$E(\xi)=10 × 0.5 + 9 × 0.3 + 8 × 0.1 + 7 × 0.1 =$
$9.2$,$E(\eta)=10 × 0.3 + 9 × 0.3 + 8 × 0.2 + 7 × 0.1 = 8.7$,$D(\xi)=$
$(10 - 9.2)^{2} × 0.5+(9 - 9.2)^{2} × 0.3+(8 - 9.2)^{2} × 0.1+$
$(7 - 9.2)^{2} × 0.1 = 0.96$,$D(\eta)=(10 - 8.7)^{2} × 0.3+(9 - 8.7)^{2} ×$
$0.3+(8 - 8.7)^{2} × 0.2+(7 - 8.7)^{2} × 0.2 = 1.21$.$E(\xi)＞E(\eta)$,
说明甲平均击中的环数比乙高,又$D(\xi)＜D(\eta)$,说明甲击
中的环数比乙集中,比较稳定,$\therefore$甲比乙的射击技术好.