《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

1.[多选]下列是组合问题的有 (AC)

A.从全班50人中选出5人组成班委会
B.从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员
C.从1,2,3,...,9中任取两个数求积
D.从1,2,3,…,9中任取两个数求差

答案： 1.AC[提示：对于A，从全班50人中选出5人组成班委会，不考虑顺序，是组合问题.B有序，为排列问题. 因为乘法满足交换律，而减法不满足交换律，所以对于C，从1,2,3,⋯,9中任取两个数求积是组合问题；对于D，从1,2,3,⋯,9中任取两个数求差为排列问题.]

2.给出下列问题:
(1)从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成
一项工作，有多少种不同的选法？
(2)从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成
两项不同的工作，有多少种不同的选法？
(3)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比
赛,共需赛多少场？
(4)a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军,有多
少种不同的结果？
(5)某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪
均为2枪连中，不同的结果有多少种？
(6)某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪
中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？
在上述问题中,哪些是组合问题？哪些是排
列问题？
命题点2:组合的列举问题

答案： 2.解：
(1)2名学生完成的是同一项工作，没有顺序，是组合问题.
(2)2名学生完成两项不同的工作，有顺序，是排列问题.
(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.
(4)争夺冠亚军是有顺序的，是排列问题.
(5)命中的4枪均为2枪连中，没有顺序，是组合问题.
(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题.
【规律方法】 根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合.

3.从5个不同元素a,b,c,d,e中取出2个,列
出所有组合为ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de.
[知识点2]组合数和组合数公式
命题点1:有关组合数性质的计算

答案：
3.ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de[提示：先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地表示出来. ]

4.化简C+Ca+C;+...+C2022等于 (B)

A.C202
B.C2023
C.C2022−1
D.C2023−1

答案： 4.B[提示：由组合数性质公式$C_{n}^{m-1}+C_{n}^{m}=C_{n+1}^{m}$得$C_{3}^{2}+C_{3}^{3}+C_{4}^{2}+·s+C_{2022}^{2}=C_{4}^{3}+C_{4}^{3}+C_{5}^{3}+·s+C_{2022}^{3}=C_{4}^{3}+·s+C_{2022}^{3}=·s=C_{2023}^{3}$.]

5.(2025.黑龙江哈尔滨一中高二下月考)已知
n为正整数,若C²5=C²−2,则n=3或7.

答案： 5.3或7

因为$C_{12}^{n+5}=C_{12}^{2n-2}$，则$\begin{cases}0\leq n+5\leq12\\0\leq2n-2\leq12\end{cases}$，解得$1\leq n\leq7$，$n\in\mathbf{N}^*$。

由组合数性质可知：$n+5=2n-2$或$n+5+2n-2=12$。

当$n+5=2n-2$时，解得$n=7$；

当$n+5+2n-2=12$时，$3n+3=12$，$3n=9$，解得$n=3$。

综上，$n=3$或$7$。

6.(教材改编题)求证:mC=nCm−1.
命题点3:简单的组合应用

答案： 6.证明：$mC_{n}^{m}=m·\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n·(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}=n·\frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}=nC_{n-1}^{m-1}$.

7.甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程
中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案种数为 (C)

A.46
B.48
C.96
D.98

答案： 7.C[提示：甲选2门有$C_{3}^{2}$种选法，乙选3门有$C_{4}^{3}$种选法，丙选3门有$C_{4}^{3}$种选法，$\therefore$共有$C_{3}^{2}·C_{4}^{3}·C_{4}^{3}=96$种选法.]

8.某运动队有男运动员6名，女运动员4名，
其中男、女队长各1名，选派5人外出比赛.
在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员;
(3)既要有队长,又要有女运动员.
命题点4:与几何图形有关的组合应用

答案： 8.
(1)解：第一步：选3名男运动员有$C_{6}^{3}$种选法；第二步：选2名女运动员有$C_{4}^{2}$种选法，故共有$C_{6}^{3}·C_{4}^{2}=120$种选法.
(2)解法1：(直接法)“至少有1名女运动员”包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理知，共有$C_{4}^{1}·C_{6}^{4}+C_{4}^{2}·C_{6}^{3}+C_{4}^{3}·C_{6}^{2}+C_{4}^{4}·C_{6}^{1}=246$种选法. 解法2：(间接法)不考虑条件，从10人中任选5人，有$C_{10}^{5}$种选法，其中全是男运动员的选法有$C_{6}^{5}$种，故“至少有1名女运动员”的选法有$C_{10}^{5}-C_{6}^{5}=246$(种).
(3)解：当有女队长时，其他人选法任意，共有$C_{8}^{4}$种选法；不选女队长时，必选男队长，共有$C_{8}^{4}$种选法，其中不含女运动员的选法有$C_{5}^{4}$种，故不选女队长时共有$(C_{8}^{4}-C_{5}^{4})$种选法. 所以既有队长，又有女运动员的选法共有$C_{8}^{4}+C_{8}^{4}-C_{5}^{4}=191$(种).

9.(教材改编题)北斗七星是夜空中的七颗亮
星,它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，
故命名为北斗七星.北斗七星不仅是天上的
星象,也是古人判断季节
的依据之一.如图,用点

A,B,C,D,E,F,G分别表
示某季节的北斗七星,其中B,D,E,F看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角
形的个数为31.
命题点5:分组与分配问题

答案： 9.31[提示：由题意，七个点任选三个减去从四个共线的点任选三个的情况，即为构成三角形的情况，所以不同三角形的个数为$C_{7}^{3}-C_{4}^{3}=35-4=31$(个).]