《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

4. (2025·重庆模拟)重庆市高考数学自 2024 年起第 9 至 11 题为多选题，每道题共 4 个选项，正确选项为两个或三个，其评分标准是：每道题满分 6 分，全部选对得 6 分，部分选对得部分分(若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得 3 分；若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得 4 分，漏选两个正确选项得 2 分)，错选或不选得 0 分.现甲、乙两名同学参加了有这种多选题的某次模拟考试.
(1)假设第 9 题正确选项为三个，若甲同学完全不会，就随机地选了两项或三项作答，所有选法等可能，求甲同学第 9 题得 0 分的概率.
(2)已知第 10 题乙同学能正确地判断出其中的一个选项是不符合题意的，他在剩下的三个选项中随机地猜选了两个选项；第 11 题乙同学完全不会，他在四个选项中随机地猜选了一个选项.若第 10 题和 11 题正确选项是两个和三个的概率都为$\frac{1}{2}$，求乙同学第 10 题和 11 题得分总和$X$的分布列及数学期望.

答案： 4.解：
(1)假设四个选项分别为$A,B,C,D$，其中错误选项为$D$，总的选法共有$10$种，分别为$AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD$，其中得$0$分的选法为$AD,BD,CD,ABD,ACD,BCD$，共$6$种，故甲同学得$0$分的概率为$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.
(2)第$10$题乙同学三个选项中随机猜选两项，用$A_0,A_4,A_6$分别表示第$10$题乙同学得$0,4,6$分，第$11$题乙同学选项中随机猜选一项，用$B_0,B_2,B_3$分别表示第$11$题乙同学得$0,2,3$分，所以$P(A_0)=\frac{1}{2}×\frac{C_{2}^{1}C_{2}^{1}}{C_{3}^{2}}+\frac{1}{2}×0=\frac{1}{3}$，$P(A_4)=\frac{1}{2}×0+\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$，$P(A_6)=\frac{1}{2}×\frac{C_{2}^{2}}{C_{3}^{2}}+\frac{1}{2}×0=\frac{1}{6}$，$P(B_0)=\frac{1}{2}×\frac{C_{1}^{1}}{C_{4}^{1}}+\frac{1}{2}×\frac{C_{1}^{1}}{C_{4}^{1}}×\frac{1}{3}=\frac{1}{8}$，$P(B_2)=\frac{1}{2}×\frac{3}{8}+\frac{1}{6}×\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$，$P(B_3)=\frac{1}{2}×\frac{C_{1}^{1}}{C_{4}^{1}}×0=\frac{1}{24}$，所以第$10,11$题得分总和$X$的可能取值为$0,2,3,4,6,7,8,9,P(X=0)=P(A_0B_0)=\frac{1}{3}×\frac{3}{8}=\frac{1}{8}$，$P(X=2)=P(A_0B_2)=\frac{1}{3}×\frac{3}{8}=\frac{1}{8}$，$P(X=3)=P(A_0B_3)=\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$，$P(X=4)=P(A_4B_0)=\frac{1}{2}×\frac{3}{8}+\frac{1}{6}×\frac{3}{8}=\frac{1}{4}$，$P(X=6)=P(A_4B_2)=\frac{1}{2}×\frac{1}{8}+\frac{1}{6}×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$，$P(X=7)=P(A_4B_3)=\frac{1}{2}×\frac{1}{24}=\frac{1}{48}$，$P(X=8)=P(A_6B_2)=\frac{1}{6}×\frac{3}{8}=\frac{1}{16}$，$P(X=9)=P(A_6B_3)=\frac{1}{6}×\frac{1}{24}=\frac{1}{144}$，所以$X$的分布列为：
$X$ 0 2 3 4 6 7 8 9
$P$ $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{16}$ $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{16}$ $\frac{1}{24}$
故数学期望为$E(X)=0×\frac{1}{8}+2×\frac{1}{8}+3×\frac{1}{12}+4×\frac{1}{4}+6×\frac{1}{16}+7×\frac{1}{8}+8×\frac{1}{16}+9×\frac{1}{24}=\frac{9}{2}$.

5. (2025·北京二中月考)冬季两项是第 24 届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中 20 km 男子个人赛的规则如下：
①共滑行 5 圈(每圈 4 km)，前 4 圈每滑行 1 圈射击一次，每次 5 发子弹，第 5 圈滑行直达终点；
②如果选手有$n$发子弹未命中目标，将被罚时$n$分钟；
③最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.
已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢 36 秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为$\frac{3}{4}$和$\frac{2}{3}$.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.
(1)若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求最终甲胜乙的概率.
(2)若仅从最终用时考虑，则甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.

答案： 5.解：
(1)甲滑雪用时比乙多$5×36=180$秒=3分钟，因为前三次射击，甲、乙两人的被罚时间相同，所以在第四次射击中，甲至少要比乙多命中4发子弹.设“甲胜乙”为事件$A$，“在第四次射击中，甲有4发子弹命中目标，乙均未命中目标”为事件$B$，“在第四次射击中，甲有5发子弹命中目标，乙至多有1发子弹命中目标”为事件$C$，依题意，事件$B$和事件$C$是互斥事件，$A=B+C,P(B)=C_{5}^{4}×(\frac{3}{4})^4×\frac{1}{4}×(\frac{1}{3})^5$，$P(C)=(\frac{3}{4})^5×[(\frac{1}{3})^5+C_{5}^{1}×(\frac{1}{3})^4×\frac{2}{3}]$，所以$P(A)=P(B)+P(C)=\frac{19}{1536}$，所以甲胜乙的概率为$\frac{19}{1536}$.
(2)设甲选手在比赛中未击中目标的子弹数为$X$，乙选手在比赛中未击中目标的子弹数为$Y$，则$X\sim B(20,\frac{1}{4}),Y\sim B(20,\frac{1}{3})$，所以甲被罚时间的期望为$1× E(X)=1×20×\frac{1}{4}=5$（分钟），乙被罚时间的期望为$1× E(Y)=1×20×\frac{1}{3}=\frac{20}{3}$（分钟），又在赛道上甲选手滑行时间慢3分钟，所以甲最终用时的期望比乙多$5+3-\frac{20}{3}=\frac{4}{3}$（分钟），故仅从最终用时考虑，乙选手水平更高.