《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

1. 已知 $ P(X = n) = \frac{n}{10}(n = 1,2,3,4) $，则 $ D(X) $ 等于(A)

A.1
B.$ \frac{11}{10} $
C.$ \frac{8}{5} $
D.2

答案： 1.A[提示:$E(X)=1 × \frac{1}{10}+2 × \frac{2}{10}+3 × \frac{3}{10}+4 × \frac{4}{10}=3$,所以$D(X)$
$=(1 - 3)^{2} × \frac{1}{10}+(2 - 3)^{2} × \frac{2}{10}+(3 - 3)^{2} × \frac{3}{10}+(4 - 3)^{2} × \frac{4}{10}=1$.]

2. 设随机变量 $ X $ 的分布列如下：

其中 $ a,b,c $ 成等差数列，若 $ E(X) = \frac{1}{3} $，则 $ D(X) $ 的值是(A)

A.$ \frac{5}{9} $
B.$ \frac{5}{8} $
C.$ \frac{3}{8} $
D.$ \frac{7}{9} $

答案： 2.A[提示:由题意得$2b = a + c$,且$a + b + c = 1$,则$b = \frac{1}{3}$.又$E(X)$
$=-a + c = \frac{1}{3}$,得$a = \frac{1}{6}$,$c = \frac{1}{2}$,故$D(X)=(-1 - \frac{1}{3})^{2} × \frac{1}{6}+$
$(0 - \frac{1}{3})^{2} × \frac{1}{3}+(1 - \frac{1}{3})^{2} × \frac{1}{2}=\frac{5}{9}$.]

3. 甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况如下表：

现有一场比赛，比较合适的是选派运动员(A)

A.甲
B.乙
C.甲、乙均可
D.无法确定

答案： 3.A[提示:$\because E(X_{1}) = E(X_{2}) = 1.1$,$D(X_{1}) = 1.1^{2} × 0.2 + 0.1^{2} ×$
$0.5 + 0.9^{2} × 0.3 = 0.49$,$D(X_{2}) = 1.1^{2} × 0.3 + 0.1^{2} × 0.3 + 0.9^{2} ×$
$0.4 = 0.69$,$\therefore D(X_{1}) ＜ D(X_{2})$,即甲比乙得分稳定,故选派甲
运动员参加较好.]

4. (教材改编题)已知离散型随机变量 $ X $ 的分布列如下表，且 $ Y = \frac{1}{3}X + 1 $，则 $ D(Y) $ 等于(B)


A.$ \frac{86}{81} $
B.$ \frac{5}{81} $
C.$ \frac{5}{27} $
D.$ \frac{32}{27} $

答案： 4.B[提示:由题意得$E(X)=-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{2}{6}=\frac{1}{2}$,所以$D(X)=$
$(-1 - \frac{1}{3})^{2} × \frac{1}{6}+(0 - \frac{1}{3})^{2} × \frac{1}{3}+(1 - \frac{1}{3})^{2} × \frac{1}{2}=\frac{5}{9}$,因为$Y =$
$\frac{1}{3}X + 1$,所以$D(Y)=\frac{1}{9}D(X)=\frac{5}{81}$.]

5. 已知随机变量 $ \xi $ 的分布列如下表，$ D(\xi) $ 表示 $ \xi $ 的方差，则 $ D(2\xi + 1) = $$\frac{20}{9}$.

答案： 5.$\frac{20}{9}$[提示:$E(\xi)=0 × \frac{1}{2}+1 × \frac{1}{3}+2 × \frac{1}{6}=\frac{2}{3}$,$D(\xi)=(0 - \frac{2}{3})^{2} ×$
$\frac{1}{2}+(1 - \frac{2}{3})^{2} × \frac{1}{3}+(2 - \frac{2}{3})^{2} × \frac{1}{6}=\frac{5}{9}$,$\therefore D(2\xi + 1)=\frac{20}{9}$.]

6. 随机抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，设向上一面的点数为 $ X $.
（1）求 $ X $ 的分布列；
（2）求 $ E(X) $ 和 $ D(X) $.

答案： 6.解:
(1)由题意,$X$的可能取值为$1,2,3,4,5,6$,且各点数向上的概率均为$\frac{1}{6}$,$\therefore X$的分布列为:
$X$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$P$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$
(2)$E(X)=\frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)=3.5$,$D(X)=\frac{1}{6} ×$
$[(1 - 3.5)^{2}+(2 - 3.5)^{2}+(3 - 3.5)^{2}+(4 - 3.5)^{2}+(5 - 3.5)^{2}+$
$(6 - 3.5)^{2}]=\frac{35}{12}$.
【规律方法】 求离散型随机变量$X$的方差的步骤:①理解
$X$的意义,写出$X$的所有可能取值;②求$X$取每一个值时对
应的概率;③写出随机变量$X$的分布列;④由方差的定义
求方差.

7. （教材改编题）$ A,B $ 两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：

试想利用什么指标可以比较 $ A,B $ 两台机床的加工质量.

答案： 7.解:$E(X_{1})=0 × 0.7 + 1 × 0.2 + 2 × 0.06 + 3 × 0.04 = 0.44$,$E(X_{2})$
$=0 × 0.8 + 1 × 0.06 + 2 × 0.04 + 3 × 0.10 = 0.44$.因为$E(X_{1}) =$
$E(X_{2})$,所以根据数学期望无法区分这两台机床的加工质
量,故考虑运用方差.$D(X_{1})=(0 - 0.44)^{2} × 0.7 + (1 - 0.44)^{2} ×$
$0.2+(2 - 0.44)^{2} × 0.06+(3 - 0.44)^{2} × 0.04 = 0.6064$,$D(X_{2})=$
$(0 - 0.44)^{2} × 0.8+(1 - 0.44)^{2} × 0.06+(2 - 0.44)^{2} × 0.04 +$
$(3 - 0.44)^{2} × 0.10 = 0.9264$,因为$D(X_{1}) ＜ D(X_{2})$,所以$A$机床
加工的质量更稳定.由此可见,利用样本方差可以刻画样本
数据的稳定性,从而可以较好地比较$A$,$B$两台机床的加工
质量.