《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

15. 【题型四】某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数$\xi$的分布列如下表：

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元。若$\eta$表示经销一件该商品的利润，求$\eta$的分布列。

答案： 15.解:$\eta$的可能取值为200,250,300.由题意得$P(\xi=1)=0.4$,$P(\eta=250)=P(\xi=2)+P(\xi=3)=0.2+0.2=0.4$,$P(\eta=300)=P(\xi=4)+P(\xi=5)=0.1+0.1=0.2$.所以$\eta$的分布列为：
η 200 250 300
P 0.4 0.4 0.2

1. 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球。
（1）求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
（2）用$X$表示摸出的2个球中的白球个数，求$X$的分布列。

答案：
1.解:
(1)记A=“摸出的2个球中有1个白球和1个红球”,3个白球、2个红球分别记为白1,白2,白3,红1,红2,从中摸出2个球有(白1,白2),(白1,白3),(白1,红1),(白1,红2),(白2,白3),(白2,红1),(白2,红2),(白3,红1),(白3,红2),(红1,红2)共10种情况,从中摸出的2个球中有1个白球和1个红球有(白1,红1),(白1,红2),(白2,红1),(白2,红2),(白3,红1),(白3,红2)共6种情况,所以$P(A)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$,即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为$\frac{3}{5}$.
(2)$X$表示摸出的2个球中的白球个数,则$X$可取0,1,2,$P(X=0)=\frac{1}{10}$,$P(X=1)=\frac{3}{5}$,$P(X=2)=\frac{3}{10}$,所以$X$的分布列为：

2. 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分。现从该箱中任取（无放回，且每个球被取到的机会均等）3个球，记随机变量$X$为取出此3个球所得分数之和，求$X$的分布列。

答案：
2.解:由题意,$X$所有可能的取值为3,4,5,6,且$P(X=3)=\frac{C_5^3}{C_9^3}=\frac{5}{42}$,$P(X=4)=\frac{C_4^1C_5^2}{C_9^3}=\frac{10}{21}$,$P(X=5)=\frac{C_4^2C_5^1}{C_9^3}=\frac{5}{14}$,$P(X=6)=\frac{C_4^3}{C_9^3}=\frac{1}{21}$.所以$X$的分布列为：