《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

10.(2025.吉林长春东北师大附中月考)安排
3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1 项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 (D)

A.12种
B.18种
C.24种
D.36种

答案： 10.D[提示：先把4项工作分为2,1,1共3组，有$\frac{C_{4}^{2}C_{2}^{1}C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}}=6$种分法，再将3组对应3个志愿者，有$A_{3}^{3}=6$种情况，由分步乘法计数原理知，不同的安排方式共有6×6=36(种).]

11.现有10本不同的书,回答下列问题.
(1)按2:2:2:4分成四堆,有多少种不同的分法？
(2)按2:2:2:4分给甲、乙、丙、丁四个人有多少种不同的分法？

答案： 11.解：
(1)按2:2:2:4分成四堆，有$\frac{C_{10}^{4}C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}}=3150$种分法.
(2)在
(1)的基础上，再分配给甲、乙、丙、丁四个人，故有$\frac{C_{10}^{4}C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}}·A_{4}^{4}=75600$种分法.

1.[多选]若a=C3−+C2+n,则下列
结论正确的是 (AC)

A.n=10
B.n=11
C.a=466
D.a=233

答案： 1.AC[提示：由$a=C_{38-n}^{3}+C_{21+n}^{3}$，可知$\begin{cases}3n\geq38-n\geq0,\\21+n\geq3n\geq0,\end{cases}$解得$9.5\leq n\leq10.5$
$∴n∈N^{*}$
∴n=10，因此$a=C_{30}^{3}+C_{31}^{3}=C_{30}^{3}+C_{31}^{3}=\frac{30×29×28}{2×3}+31=466$.]

2.(2025.黑龙江大庆实验中学高二
下月考)10名同学合影,前排站3人,后排站7人,现摄影师要从后排7人中抽2人调整到前排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是 (D)

A.168
B.630
C.252
D.420

答案： 2.D[提示：从后排7人中选2人共有$C_{7}^{2}$种选法，这2人插入前排3人中且保证前排人的顺序不变，所以可先从3人中的4个空挡插入1人，有$C_{4}^{1}$种插法；余下的1人则要插入前排4人的5个空挡中，有$C_{5}^{1}$种插法. 综上，不同调整方法的种数是$C_{7}^{2}C_{4}^{1}C_{5}^{1}=420$(种).]

3.(2025.黑龙江哈尔滨师大附
中高二下月考)每年的5月25日是“全国大学生心理健康日”.某高校计划在这一天开展有关心理健康的宣传活动,现计划将6位老师平均分成三组分别到三个不同的班级进行宣讲,则不同的排法总数为 (C)

A.540
B.120
C.90
D.60

答案： 3.C[提示：将6位老师平均分成三组，共有$\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}}$种可能，三组老师分别到三个不同的班级进行宣讲，每个班级都有老师宣讲，所以有$\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}}·A_{3}^{3}=90$种排法.]

4.(2025.黑龙江哈尔滨六中高二下
月考)某校要举行校庆活动,有甲、乙、丙3 名志愿者负责A,B,C,D4个任务,每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责,且甲
不负责A任务的分配方法共有 (C)

A.12种
B.18种
C.24种
D.36种

答案： 4.C[提示：因为任务有4个，人只有3个，所以结合题意可知有1人负责2个任务.若甲负责2个任务，因为甲不负责A任务，所以有$C_{3}^{2}$种分配方法，剩下的任务有$A_{2}^{2}$种分配方法，所以此时的分配方法共有$C_{3}^{2}A_{2}^{2}=6$(种)；若甲负责1个任务，因为甲不负责A任务，所以有$C_{3}^{1}$种分配方法，剩下的任务有$C_{3}^{2}A_{2}^{2}$种分配方法，所以此时的分配方法共有$C_{3}^{1}C_{3}^{2}A_{2}^{2}=18$(种). 综上，满足题意的分配方法共有6+18=24(种).]

5.(教材改编题)黑龙江省在
2024年高考进行“3+1+2”选科模式,即语
文、数学、英语三门必考，物理和历史二选
一,化学、政治、生物、地理四选二,在此规则
下,学生共有12种选科方式.

答案： 5.12[提示：依题意，根据分步乘法计数原理，有$C_{2}^{1}·C_{4}^{2}=2×\frac{4×3}{2}=12$种选科方式.]

6.若从1,2,3,4,5,6,7这7个数中
任取3个不同的数,使其和为奇数,则不同
的取法共有16种.

答案： 6.16[提示：若3个数之和为奇数，则有1个奇数、2个偶数或者3个奇数两类取法.若是1个奇数、2个偶数，则有$C_{4}^{1}C_{3}^{2}=12$(种)；若是3个奇数，则有$C_{4}^{3}=4$(种). 故共有12+4=16种不同的取法.]

7.(2025.黑龙江哈尔滨三中高
二下月考)某学校派5人参加连续8天的志
愿服务活动,其中甲连续参加2天,活动中
第三天和第五天各需2个人同时参加,其余
的天数只能有一个人参加,每个人都至少参加一天活动，至多参加两天活动，则不同的
安排方法有5724种.(结果用数字表示)

答案： 7.5724[提示：不妨记天数分别为1,2,3,4,5,6,7,8，另外4人分别为A,B,C,D，当甲在12,67,78这三个时间段连续参加2天时：①第三天与第五天由剩下四人参加：则先把A,B,C,D分到第三天与第五天，剩下四天由A,B,C,D排列完成，共有$3×C_{4}^{2}×A_{4}^{4}×A_{2}^{2}=432$种方法. ②第三天与第五天由剩下四人中的两人参加：则先从A,B,C,D中选两人(如A,B)分到第三天与第五天(如A,B与A,B)，有$3×C_{4}^{2}×C_{2}^{2}=108$种方法. 当甲在23,34,45,56这四个时间段连续参加2天时：①第三天与第五天由剩下四人中三人(如A,B,C)参加：先从四人中选一人与甲同一天，再从剩下三人中选两人在另一天，然后剩下五天由剩下人完成(如A,B,C,D,D)，有$4×C_{4}^{1}×C_{3}^{2}×C_{2}^{2}×A_{3}^{3}=2880$种方法. ②第三天与第五天由剩下四人中两人(如A,B)参加：先从两人中选一人与甲同一天(如A)，再从剩下一人中选1人(如B)与刚才的1人(A)排在另一天，剩下五天由剩下人完成(如B,C,C,D,D)，有$4×C_{4}^{1}×C_{3}^{1}×C_{1}^{1}×C_{2}^{2}=1440$种方法. 根据分类计数原理，共有432+864+108+2880+1440=5724种方法.]

8.按下列要求分配6本不同
的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)平均分成三份,每份2本;
(2)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
(3)分成三份，1份4本，另外两份每份1本;
(4)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人
每人得1本.

答案： 8.解：
(1)无序均匀分组问题.分配方式有$\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}}=15$(种).
(2)有序均匀分组问题.在
(1)的基础上再分配给3个人，共有分配方式$\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}}·A_{3}^{3}=90$(种).
(3)无序部分均匀分组问题.共有$\frac{C_{6}^{4}C_{2}^{1}C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}}=15$种分法.
(4)有序部分均匀分组问题.在
(3)的基础上再分配给3个人，共有分配方式$\frac{C_{6}^{4}C_{2}^{1}C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}}·A_{3}^{3}=90$(种).

[易错点忽略组合数中参数的范围
已知C²22=C²−4,则x的值是 (D)
A.2
B.6
C.$\frac{1}{2}$
D.2或6

答案： 根据组合数性质及参数范围，得
$\begin{cases}0\leq x-2\leq 12, \\0\leq 2x-4\leq 12, \\x-2=2x-4 或 x-2+2x-4=12,\end{cases}$
解得 $x=2$ 或 $x=6$。
D