《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

新题型1 结论不唯一
1. (2025·河北衡水中学调研)已知随机变量$X\sim B(10,0.9)$，请试举一个满足上述要求的试验：_.(答案不唯一，合理即可)用于植树造林的10棵树苗，已知每棵树苗的成活率为0.9，记这10棵树苗中成活的棵数为X(答案不唯一)

答案： 1.用于植树造林的10棵树苗，已知每棵树苗的成活率为0.9，记这10棵树苗中成活的棵数为X(答案不唯一)

新题型2 条件不良试题
2. (2025·河北邯郸高三联考)中学生经常参加户外体育锻炼有利于新陈代谢，提高身体的免疫力，增强体质和抵抗力.某学校实践活动小组经过调查所在学校学生参加体育锻炼的时间与综合体测成绩等信息，统计有效的数据信息后发现：该学校有$\frac{1}{3}$的学生每天平均坚持户外体育锻炼的时间超过30分钟，在这些学生中，综合体测成绩达到“优秀”等级的概率为$\frac{3}{5}$；而每天平均坚持户外体育锻炼的时间不超过30分钟的学生的综合体测成绩达到“优秀”等级的概率为$\frac{1}{5}$.
(1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“优秀”等级的概率；
(2)若_，记$X$为这4名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求$X$的分布列和数学期望.
给出以下两个条件：①已知6名学生中有2名综合体测成绩达到“优秀”等级，从这6名学生中任意抽取4名学生；②从该学校任意抽取4名学生.请从这两个条件中任选一个补充到上面的问题中，并完成作答.

答案： 2.解：
(1)依题意，设“每天平均坚持户外体育锻炼的时间超过30分钟”为事件A，则$P(A)=\frac{1}{3}$，$P(\overline{A})=1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，设“学生的综合体测成绩达到‘优秀’等级”为事件B，则$P(B|A)=\frac{3}{5}$，$P(B|A)=\frac{1}{5}$，根据全概率公式可得$P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=\frac{3}{5} × \frac{1}{3}+\frac{1}{5} × \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，所以从该学校任意抽取一名学生，综合体测成绩达到“优秀”等级的概率为$\frac{1}{3}$。
(2)选择①，则X所有可能的取值为0,1,2，所以$P(X = 0)=\frac{C_{4}^{4}}{C_{6}^{4}}=\frac{1}{15}$，$P(X = 1)=\frac{C_{2}^{1}C_{4}^{3}}{C_{6}^{4}}=\frac{8}{15}$，$P(X = 2)=\frac{C_{2}^{2}C_{4}^{2}}{C_{6}^{4}}=\frac{2}{5}$，所以X的分布列为：
$X$ 0 1 2
$P$ $\frac{1}{15}$ $\frac{8}{15}$ $\frac{2}{5}$
故$E(X)=0 × \frac{1}{15}+1 × \frac{8}{15}+2 × \frac{2}{5}=\frac{4}{3}$.选择②，则X所有可能
的取值为0,1,2,3,4，且$X \sim B(4,\frac{1}{3})$，所以$P(X = 0)=(1 - \frac{1}{3})^{4}=\frac{16}{81}$，$P(X = 1)=C_{4}^{1} × \frac{1}{3} × (1 - \frac{1}{3})^{3}=\frac{32}{81}$，$P(X = 2)=C_{4}^{2} × (\frac{1}{3})^{2} × (1 - \frac{1}{3})^{2}=\frac{24}{81}=\frac{8}{27}$，$P(X = 3)=C_{4}^{3} × (\frac{1}{3})^{3} × (1 - \frac{1}{3})=\frac{8}{81}$，$P(X = 4)=(\frac{1}{3})^{4}=\frac{1}{81}$，所以X的分布列为：
$X$ 0 1 2 3 4
$P$ $\frac{16}{81}$ $\frac{32}{81}$ $\frac{8}{27}$ $\frac{8}{81}$ $\frac{1}{81}$
故$E(X)=4 × \frac{1}{3}=\frac{4}{3}$.

3. (2025·陕西西安高三模拟)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为$\frac{2}{3}$，乙每次击中目标的概率为$\frac{1}{2}$.假设两人射击是否击中目标互不影响，每次射击是否击中目标互不影响.
(1)记甲击中目标的次数为$X$，求$X$的分布列；
(2)在①甲恰好比乙多击中目标2次，②乙击中目标的次数不超过2次，③甲击中目标3次且乙击中目标2次，这三个条件中任选一个补充在横线上，并解答问题.求_事件的概率.

答案： 3.解：
(1)由题意知X的所有取值为0,1,2,3，$P(X = 0)=C_{3}^{0}(\frac{2}{3})^{0}(\frac{1}{3})^{3}=\frac{1}{27}$，$P(X = 1)=C_{3}^{1}(\frac{2}{3})^{1}(\frac{1}{3})^{2}=\frac{2}{9}$，$P(X = 2)=C_{3}^{2}(\frac{2}{3})^{2}(\frac{1}{3})^{1}=\frac{4}{9}$，$P(X = 3)=C_{3}^{3}(\frac{2}{3})^{3}(\frac{1}{3})^{0}=\frac{8}{27}$.故X的分布列为：
$X$ 0 1 2 3
$P$ $\frac{1}{27}$ $\frac{2}{9}$ $\frac{4}{9}$ $\frac{8}{27}$
(2)选择①：设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件$B_{1}$，甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件$B_{2}$，则$A = B_{1}+B_{2}$，又$B_{1}$和$B_{2}$为互斥事件，所以$P(A)=P(B_{1})+P(B_{2})=C_{3}^{2} × \frac{4}{9} × \frac{1}{3} × (\frac{1}{2})^{3}+\frac{8}{27} × C_{1}^{1} × (\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{6}$.所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为$\frac{1}{6}$.选择②：记乙击中目标的次数为Y，而$Y \leq 2$的对立事件为$Y = 3$，由于$P(Y = 3)=C_{3}^{3}(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}$，因此$P(Y \leq 2)=1 - \frac{1}{8}=\frac{7}{8}$.选择③：甲击中目标与乙击中目标为相互独立事件，所以甲击中目标3次且乙击中目标2次的概率为$\frac{8}{27} × C_{3}^{2}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{1}=\frac{8}{27} × \frac{3}{8}=\frac{1}{9}$.

新考法1 聚焦热点情境，彰显时代特色
4. (2025·甘肃天水一中高二下期末)2023年6月4日神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功.费俊龙、邓清明、张陆这三位航天员在空间站上工作了186天，此次神舟十五号载人飞船返回，是我国空间站转入应用与发展阶段后的首次返回任务，掀开了中国航天空间站的历史新篇章.某航空机械公司的研究院研发了一款新零件用于航天器，若这批零件的质量指标$\xi$(单位：毫米)服从正态分布$N(25.40,\sigma^{2})$，且$P(\xi\geq25.45)=0.1$，现从该批零件中随机抽取3件，用$X$表示这3件产品的质量指标值$\xi$不位于区间$(25.35,25.45)$的产品件数，则$E(X)=$_,$D(X)=$_.0.60.48

答案： 4.0.6 0.48[提示：由正态分布的性质得$P(25.35 ＜ \xi ＜ 25.45)=1 - 2P(\xi \geq 25.45)=1 - 2 × 0.1 = 0.8$，所以1件产品的质量指标值$\xi$不位于区间$(25.35,25.45)$的概率为0.2，所以$X \sim B(3,0.2)$，故$E(X)=3 × 0.2 = 0.6$，$D(X)=3 × 0.2 × 0.8 = 0.48$.]