《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

10. 某地区$3000$名高三学生在某次模拟考试中的总分$X$服从正态分布$N ( 550, 50 ^ { 2 } )$。
(1) 求$P ( 500 \leqslant X \leqslant 650 )$；
(2) 试估计该地区$3000$名高三学生中总分$X$落在区间$( 600, 700 ]$的人数.
(参考数据：$P ( \mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma ) \approx 0. 6827$，$P ( \mu - 2 \sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2 \sigma ) \approx 0. 9545$，$P ( \mu - 3 \sigma \leqslant X \leqslant \mu + 3 \sigma ) \approx 0. 9973$)

答案： 10.解：
(1)由题知$\mu = 550$，$\sigma = 50$，则$500 = \mu - \sigma$，$650 = \mu + 2\sigma$，所以$P(500\leq X\leq650)=P(\mu - \sigma\leq X\leq\mu + 2\sigma)=\frac{1}{2}[P(\mu - \sigma\leq X\leq\mu + \sigma)+P(\mu - 2\sigma\leq X\leq\mu + 2\sigma)]\approx0.8186$。
(2)因为$600 = \mu + \sigma$，$700 = \mu + 3\sigma$，所以$P(600＜X\leq700)=P(\mu + \sigma＜X\leq\mu + 3\sigma)=\frac{1}{2}[P(\mu - 3\sigma\leq X\leq\mu + 3\sigma)-P(\mu - \sigma\leq X\leq\mu + \sigma)]\approx0.1573$，因为$3000×0.1573 = 471.9\approx472$，所以该地区3000名高三学生中，总分$X$落在区间$(600,700]$的人数约为472。

1. 【题型二】(2025·黑龙江哈尔滨三中高三模拟) 已知随机变量$X$服从标准正态分布$N ( 0, 1 )$，且$P ( X \geqslant a ) = 0. 3$，则$P ( - a \leqslant X ＜ 0 )$等于 (B)
A.$0. 1$
B.$0. 2$
C.$0. 3$
D.$0. 6$

答案： 1.B[提示：由题意，随机变量$X$服从标准正态分布$N(0,1)$，所以$\mu = 0$，因为$P(X\geq a)=0.3$，所以$P(X\leq - a)=0.3$，所以$P(-a\leq X\leq a)=1 - P(X\geq a)-P(X\leq - a)=1 - 0.3 - 0.3 = 0.4$，所以$P(-a\leq X＜0)=\frac{1}{2}P(-a\leq X\leq a)=0.2$。]

2. 【题型一】(2025·黑龙江哈尔滨三中高二下月考) 随机变量$X$，$Y$满足$X \sim B \left( 4, \frac { 1 } { 2 } \right)$，$Y \sim N ( 2, 4 )$，则下列选项正确的是 (A)

A.$E ( X ) = E ( Y )$
B.$D ( X ) = D ( Y )$
C.$P ( X = 2 ) = \frac { 1 } { 2 }$
D.$P ( Y ＞ 2 ) = P ( Y ＜ 0 )$

答案： 2.A[提示：由二项分布和正态分布可知$E(X)=4×\frac{1}{2}=2$，$D(X)=4×\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{2}) = 1$，$E(Y)=2$，$D(Y)=4$，故A正确，B错误；对于C，$P(X = 2)=C_{4}^{2}×(\frac{1}{2})^2×(1 - \frac{1}{2})^2=\frac{3}{8}$，故C错误；对于D，根据正态分布可知$\mu = 2$，所以$P(Y＞2)=P(Y＞\mu)=\frac{1}{2}$，$P(Y＜0)＜P(Y＜2)=P(Y＜\mu)=\frac{1}{2}$，所以$P(Y＞2)＞P(Y＜0)$，故D错误。]

3. 【题型一】(2025·吉林通化五中高二下月考) 已知连续型随机变量$\xi$服从正态分布$N \left( \frac { 1 } { 2 }, \frac { 1 } { 4 } \right)$，记函数$f ( x ) = P ( \xi \leqslant x )$，则$f ( x )$的图象 (C)

A.关于直线$x = \frac { 1 } { 2 }$对称
B.关于直线$x = \frac { 1 } { 4 }$对称
C.关于点$\left( \frac { 1 } { 2 }, \frac { 1 } { 2 } \right)$成中心对称
D.关于点$\left( \frac { 1 } { 4 }, \frac { 1 } { 4 } \right)$成中心对称

答案： 3.C[提示：由连续型随机变量$\xi$服从正态分布$N(\frac{1}{2},\frac{1}{4})$，可得$\mu=\frac{1}{2}$，$\sigma^2=\frac{1}{4}$，所以$\mu=\frac{1}{2}$，$\sigma=\frac{1}{2}$，所以正态密度曲线关于直线$x=\frac{1}{2}$对称，即$P(\xi\leq x)=P(\xi\geq1 - x)$，由$f(x)=P(\xi\leq x)$，可得$f(x)=P(\xi\leq x)$在$x\leq\frac{1}{2}$时增加较快，在$x＞\frac{1}{2}$时增加越来越慢，所以$f(x)$无对称轴，故A，B错误；$f(x)+f(1 - x)=P(\xi\leq x)+P(\xi\leq1 - x)=P(\xi\geq1 - x)+P(\xi\leq1 - x)=1$，所以$f(x)$的图象关于点$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$成中心对称，故C正确，D错误。]

4. 【题型一】已知随机变量$X \sim B ( 6, p )$，$Y \sim N ( \mu, \sigma ^ { 2 } )$，且$P ( Y \geqslant 2 ) = \frac { 1 } { 2 }$，$E ( X ) = E ( Y )$，则$p$等于 (B)

A.$\frac { 1 } { 2 }$
B.$\frac { 1 } { 3 }$
C.$\frac { 1 } { 4 }$
D.$\frac { 1 } { 6 }$

答案： 4.B[提示：因为随机变量$X\sim B(6,p)$，所以$E(X)=6p$，因为$Y\sim N(\mu,\sigma^2)$，$P(Y\geq2)=\frac{1}{2}$，所以$\mu = 2$，即$E(Y)=2$，又$E(X)=E(Y)$，所以$6p = 2$，即$p=\frac{1}{3}$。]

5. 【题型一】设$X \sim N ( \mu _ { 1 }, \sigma _ { 1 } ^ { 2 } )$，$Y \sim N ( \mu _ { 2 }, \sigma _ { 2 } ^ { 2 } )$，这两个正态密度曲线如图所示，下列结论中正确的是 (D)


A.$\mu _ { 1 } ＞ \mu _ { 2 }$
B.$\sigma _ { 1 } ＞ \sigma _ { 2 }$
C.$P ( Y \geqslant \mu _ { 2 } ) \geqslant P ( Y \geqslant \mu _ { 1 } )$
D.$P ( X \leqslant \mu _ { 2 } ) \geqslant P ( X \leqslant \mu _ { 1 } )$

答案： 5.D[提示：因为$X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，两曲线分别关于直线$x = \mu_1$，$x = \mu_2$对称，所以由图可知$\mu_1＜\mu_2$，所以A错误；因为$X$的正态曲线“瘦高”，$Y$的正态曲线“矮胖”，所以$\sigma_1＜\sigma_2$，所以B错误；所以$P(Y\geq\mu_2)\leq P(Y\geq\mu_1)$，$P(X\leq\mu_1)\geq P(X\leq\mu_1)$，所以C错误，D正确。]

6. 【题型一】设随机变量$\xi$服从正态分布$N ( 2, 9 )$，若$P ( \xi ＜ 2 m + 1 ) = P ( \xi ＞ m - 1 )$，则实数$m$的值是 (B)

A.$\frac { 2 } { 3 }$
B.$\frac { 4 } { 3 }$
C.$\frac { 5 } { 3 }$
D.$2$

答案： 6.B[提示：因为随机变量$\xi$服从正态分布$N(2,9)$，$P(\xi＜2m + 1)=P(\xi＞m - 1)$，根据正态分布的特征，可得$\frac{2m + 1 + m - 1}{2}=2$，解得$m=\frac{4}{3}$。]

7. 【题型三】(2025·辽宁葫芦岛一中高二下月考) [多选] 现对跑完某次$5$公里马拉松的$1000$名参与者的完成时间$t$ (单位：分钟)进行统计，得到这$1000$名参与者的完成时间$t$近似服从正态分布$N ( 20, 1. 44 )$，则 (ABD)
(参考数据：若$X \sim N ( \mu, \sigma ^ { 2 } )$，则$P ( \mu - \sigma ＜ X \leqslant \mu + \sigma ) \approx 0. 683$，$P ( \mu - 2 \sigma ＜ X \leqslant \mu + 2 \sigma ) \approx 0. 954$，$P ( \mu - 3 \sigma ＜ X \leqslant \mu + 3 \sigma ) \approx 0. 997$)
A.这跑完全程的$1000$名参与者中大约有$683$人的完成时间在$( 18. 8, 21. 2 ]$内
B.这跑完全程的$1000$名参与者中大约有$477$人的完成时间在$( 20, 22. 4 ]$内
C.这跑完全程的$1000$名参与者中大约有$954$人的完成时间在$( 17. 6, 23. 6 ]$内
D.这跑完全程的$1000$名参与者中完成时间在$( 17. 6, 21. 2 ]$内与在$( 18. 8, 22. 4 ]$内的人数大致相等

答案： 7.ABD[提示：根据时间$t$近似服从正态分布$N(20,1.44)$，可得$P(18.8＜t\leq21.2)\approx0.683$，$P(17.6＜t\leq22.4)\approx0.954$，$P(16.4＜t＜23.6)\approx0.997$，所以跑完全程的1000名参与者中完成时间在$(18.8,21.2]$内的大约有：$1000×0.683 = 683$（人），故A正确；由$P(17.6＜t\leq22.4)\approx0.954$可知$P(20＜t\leq22.4)=\frac{0.954}{2}=0.477$，所以跑完全程的1000名参与者中完成时间在$(20,22.4]$内的大约有：$1000×0.477 = 477$（人），故B正确；由$P(17.6＜t\leq22.4)\approx0.954$，$P(16.4＜t＜23.6)\approx0.997$，可知$P(17.6＜t\leq23.6)\approx\frac{0.954}{2}+\frac{0.997}{2}=0.9755$，所以跑完全程的1000名参与者中完成时间在$(17.6,23.6]$内的大约有$1000×0.9755\approx976$（人），故C错误；由正态分布的对称性可知$P(17.6＜t\leq21.2)=P(18.8＜t\leq22.4)$，所以跑完全程的1000名参与者中完成时间在$(17.6,21.2]$内与在$(18.8,22.4]$内的人数大致相等，故D正确。]