《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

新题型1 结论不唯一
1. “隔板法”是排列组合问题中的一种解题模型，多应用于“实际分配问题”。例如：8 个完全相同的球全部放到 3 个不同的盒子中，每个盒子至少一个，有多少种不同的分配方法。在解决本题时，我们可以将 8 个球排成一行，8 个球出现了 7 个空档，再用两块隔板把 8 个球分成 3 份即可，故有 $ C_{7}^{2} $ 种分配方法。请试写出一道利用“隔板法”解决的题目：将$m$个人分成$n$组，每组至少1人的分配方法数(答案不唯一)(答案不唯一，合理即可)。

答案： 1. 将$m$个人分成$n$组，每组至少1人的分配方法数(答案不唯一)[提示：将$m$个人分成$n$组，每组至少1人，只需用$n - 1$个隔板插入到$m$个人所排成的$(m - 1)$个空中，求分配方法数.]

新题型2 结论不良试题
2. (2025·江西南昌新民外语高二下月考)在 $ (x + \frac{2}{x})^{n} $ 的展开式中，。
给出下列条件：①二项式系数和为 64；②第三项的二项式系数为 15；③各项系数之和为 729。试在这三个条件中任选一个补充在上面的横线上，并且解答下列问题：
(1)求 $ n $ 的值并求展开式中的常数项；
(2)求 $ (1 + x^{2})(x + \frac{2}{x})^{n} $ 的展开式中 $ x^{4} $ 的系数。

答案： 2. 解：
(1)若选①，易知$2^{n}=64$，所以$n = 6$，此时$(x+\frac{2}{x})^{6}$的常数项为$C_{6}^{3}x^{3}(2x^{-1})^{3}=160$.若选②，易知$C_{n}^{2}=15$，所以$n = 6$，此时$(x+\frac{2}{x})^{6}$的常数项为$C_{6}^{3}x^{3}(2x^{-1})^{3}=160$.若选③，令$x = 1$，则$(1+\frac{2}{1})^{n}=3^{n}=729$，所以$n = 6$，此时$(x+\frac{2}{x})^{6}$的常数项为$C_{6}^{3}x^{3}(2x^{-1})^{3}=160$.
(2)由上可知不论选①②③，都有$n = 6$，故问题为求$(1 + x^{2})(x+\frac{2}{x})^{6}$的展开式中$x^{4}$的系数，先求$(x+\frac{2}{x})^{6}$的展开式中含$x^{4}$的项，易知该项为$C_{6}^{5}x^{5}(2x^{-1})^{1}=12x^{4}$，再求$(x+\frac{2}{x})^{6}$的展开式中含$x^{2}$的项，易知该项为$C_{6}^{4}x^{4}(2x^{-1})^{2}=60x^{2}$，所以$(1 + x^{2})(x+\frac{2}{x})^{6}$的展开式中含$x^{4}$的项为$12x^{4}+60x^{4}=72x^{4}$，所以其系数为72.

3. (2025·吉林长春十七中高二下期末)给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于 16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为 $ 4:1 $。从中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答。
已知 $ (x + \frac{\sqrt{x}}{2})^{n}(n \in N^{*}) $，。
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中所有的有理项。

答案： 3. 解：
(1)二项展开式的通项公式为$T_{k + 1}=C_{n}^{k}x^{n - k}(\frac{\sqrt{x}}{2})^{k}=C_{n}^{k}(\frac{1}{2})^{k}x^{n-\frac{k}{2}}$，$k = 0,1,2,·s,n$.若选①，则由题得$C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=16$，$\therefore1 + n+\frac{n(n - 1)}{2}=16$，即$n^{2}+n - 30 = 0$，解得$n = 5$或$n = - 6$(舍去)，$\therefore n = 5$.若选②，则由题得$\frac{C_{n}^{n - 2}}{C_{n}^{n - 1}}(\frac{1}{2})^{- 2}=\frac{n(n - 1)}{2}$，$\frac{n}{2}=n - 1$，$\therefore n = 5$. $\therefore$展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为$T_{3}=C_{5}^{2}(\frac{1}{2})^{2}x^{4}=\frac{5}{2}x^{4}$，$T_{4}=C_{5}^{3}(\frac{1}{2})^{3}x^{\frac{7}{2}}=\frac{5}{4}x^{\frac{7}{2}}$.
(2)由
(1)可得二项展开式的通项公式为$T_{k + 1}=C_{5}^{k}x^{5 - k}(\frac{\sqrt{x}}{2})^{k}=C_{5}^{k}(\frac{1}{2})^{k}x^{5-\frac{k}{2}}$，$k = 0,1,2,·s,5$.当$5-\frac{k}{2}\in\mathbf{Z}$，即$k = 0,2,4$时，展开式中的项为有理项，所以展开式中所有的有理项为$T_{1}=x^{5}$，$T_{3}=C_{5}^{2}(\frac{1}{2})^{2}x^{4}=\frac{5}{2}x^{4}$，$T_{5}=C_{5}^{4}(\frac{1}{2})^{4}x^{3}=\frac{5}{16}x^{3}$.