《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

1. (2025·辽宁鞍山一中高二下月考)将 7 本不同的杂志分成 3 组,每组至少 2 本,则不同的分组方法数为 (C)

A.70
B.84
C.105
D.210

答案： 1.C[提示:依题意可得分组的本数分配只有1种,即2,2,3,所以不同的分组方法数为$\frac{C_7^2C_5^2}{A_2^2}=105.$]

2. 从高二年级的 5 名同学中选派 4 人作为志愿者分别承担 4 项不同的公益工作,若其中甲、乙两人只能从事其中的 A,B 两项工作,其余三人均可从事各项工作,则不同的选派方案共有 (D)

A.48 种
B.12 种
C.18 种
D.36 种

答案： 2.D[提示:①甲、乙两人只有一人入选,则有$C_2^1C_2^1A_3^3=24$种选派方法;②甲、乙两人都入选,则有$A_2^2A_3^2=12$种选派方法.综上可知,一共有24 + 12 = 36种选派方法.]

3. (2024·黑龙江哈尔滨德强学校高二下期中)现将 12 个相同的小球全部放入 4 个不同的盒子里,每个盒子里至少放 2 个小球,则不同的放法共有 (B)

A.24 种
B.35 种
C.56 种
D.70 种

答案： 3.B[提示:先在每个盒子中分别放入一个小球,则剩余8个小球,只需保证4个盒子中分别再放入至少1个小球,则采用隔板法可得有$C_7^3=35$种放法.]

4. (2024·吉林四平三中高二下月考)将 a,b,c,d,e 五名实习教师分配到某校高二年级的甲、乙、丙三个班级实习,要求每个班至少一名,最多两名,其中 a 不去甲班,则不同的分配方案有 (D)

A.180 种
B.150 种
C.90 种
D.60 种

答案： 4.D[提示:根据题意,去甲班实习的教师可以是1人或2人.有1人去甲班时,因为$a$不去乙班,可从另外4人中选1人去甲班,有$C_4^1$种选法,再选2人去乙班,有$C_4^2$种选法,剩下2人去丙班,有$C_2^2$种方法,这是分3步完成的,故有$C_4^1C_4^2C_2^2=4×6×1=24$种方案;有2人去甲班时,因为$a$不去甲班,可从另外4人中选2人去甲班,有$C_4^2$种选法,再把剩余3人分配到2个班的分法有$C_3^2A_2^2$种方法,所以这类办法有$C_4^2C_3^2A_2^2=6×3×2=36$(种).故不同的分配方案有24 + 36 = 60(种).]

5. (2025·安徽六安一中月考)给图中五个区域染色,有四种不同的颜色可供选择,要求边界有重合部分的区域(仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算)染上不同的颜色,则不同的染色方法有 (B)

A.216 种
B.168 种
C.192 种
D.180 种

答案： 5.B[提示:先对区域三、四、五染色,有$A_4^3$种方法,若区域二和三同色,区域一可以有3种染色方案,不同的染色方法有$3A_4^3=72$(种);若区域二和五同色,区域一有2种染色方案,不同的染色方法有$2A_4^3=48$(种);若区域二与三、五颜色不同,区域一有2种染色方案,不同的染色方法有$2A_4^3=48$(种).综上,不同的染色方法有72 + 48 + 48 = 168(种).]

6. (2024·吉林白山一中高二下月考)给图中五个区域染色,有 4 种不同的颜色可供选择,要求有公共边的区域染上不同的颜色,则不同的染色方法有 (D)

A.216 种
B.192 种
C.180 种
D.168 种

答案： 6.D[提示:先对3,4,5染色,有$A_4^3$种方法,若2和3同色,则不同的染色方法有$3A_4^3=72$(种);若2和3不同色,则不同的染色方法有$2×2A_4^3=96$(种).综上所述,不同的染色方法有72 + 96 = 168(种).]

7. 今有 2 只红球、3 只黄球,同色球不加以区分,将这 5 只球排成一列,不同的方法有 (D)

A.24 种
B.18 种
C.12 种
D.10 种

答案： 7.D[提示:依题意,从一排的5个位置中任取2个放入2只红球,另3个位置放入黄球即得一个排列,所以不同排法种数是$C_5^2=10.$]

8. 如图,某地有南北街道 6 条、东西街道 5 条,一快递员从 A 地出发,送货到 C 地,且途经 B 地,要求所走路程最短,不同的走法共有40_ 种.

答案： 8.40[提示:要按要求走完最短路程,需要经过两步:第一步是由A走到B;第二步是由B走到C.由A地到B地,需要向北走1条街道,向东走3条街道,共走4条街道,共有$C_4^1=4$种走法;由B地到C地,需要向北走3条街道,向东走2条街道,共走5条街道,共有$C_5^3=10$种走法.由分步计数原理知,共有4×10 = 40种走法.]

9. 已知甲、乙、丙等 5 人站成一列,并要求甲站在乙、丙前面,则不同的站法的种数为 (D)

A.24
B.26
C.32
D.40

答案： 9.D[提示:按甲的安排进行分类讨论.①甲排第一,则乙、丙等四人的排法有$A_4^4=24$(种);②甲排第二,则乙、丙排后3位中的两位,共有排法$A_2^2×A_3^2=12$(种);③甲排第三,则乙、丙排最后2位,共有排法$A_2^2×A_2^2=4$(种).故共有24 + 12 + 4 = 40(种).]

10. (2024·黑龙江牡丹江二中高二下月考)五人相约到电影院观看电影《哪吒之魔童闹海》,恰好买到了五张连号的电影票.若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧,则不同的坐法种数为 (B)

A.60
B.80
C.100
D.120

答案： 10.B[提示:由题意,五人全排列共有$A_5^5=120$种不同的排法,其中甲、乙、丙三人全排列共有$A_3^3=6$种不同的排法,其中甲、乙在丙的同侧有:甲、乙、丙,乙、甲、丙,丙、甲、乙,丙、乙、甲共4种排法,所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧,则不同的坐法种数为$120×\frac{4}{6}=80$.]

11. 有四名男生、三名女生排队照相,七个人排成一排,则下列说法正确的是 (C)

A.如果四名男生必须连排在一起,那么有 720 种不同排法
B.如果三名女生必须连排在一起,那么有 576 种不同排法
C.如果女生不能站在两端,那么有 1440 种不同排法
D.如果三个女生中任何两个均不能排在一起,那么有 720 种不同排法

答案： 11.C[提示:对于A,如果四名男生必须连排在一起,将这四名男生捆绑,形成一个“大元素”,此时,共有$A_4^4A_4^4=24^2=576$种不同的排法,故A错误;对于B,如果三名女生必须连排在一起,将这三名女生捆绑,形成一个“大元素”,此时共有$A_3^3A_5^5=6×120=720$种不同的排法,故B错误;对于C,如果女生不能站在两端,则两端安排男生,其他位置的安排没有限制,此时共有$A_4^2A_5^5=12×120=1440$种不同的排法,故C正确;对于D,如果三个女生中任何两个均不能排在一起,将女生插入四名男生所形成的5个空中,此时共有$A_4^4A_5^3=24×60=1440$种不同的排法,故D错误.]

12. (2024·吉林长春一三七高二下月考)12 名学生与 4 名老师站成一排拍照,要求 4 名老师两两不相邻,则不同的排法数为 (B)

A.$ A_{12}^{12}A_{5}^{4} $
B.$ A_{12}^{12}A_{13}^{4} $
C.$ A_{13}^{13}A_{4}^{4} $
D.$ A_{12}^{12}A_{12}^{4} $

答案： 12.B[提示:首先将12名学生全排列有$A_{12}^{12}$种排法,再将4名老师插入到12名学生所形成的13个空(包括首、尾)中的4个空中,有$A_{13}^4$种排法,按照分步乘法计数原理可知一共有$A_{12}^{12}A_{13}^4$种排法.]