《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

1. (教材改编题)完成一项工作有两种方法,有6个人只会用第一种方法,另外有4个人只会用第二种方法,从这10个人中选1个人完成这项工作,则不同的选法共有 (B)

A.6种
B.10种
C.4种
D.60种

答案： 1.B[提示：根据分类加法计数原理得6+4=10(种).]

2. 若在7位男生和3位女生中随机挑选出1人,则所有选法种数是10.

答案： 2.10[提示：从7位男生中随机挑选1人，有7种不同方法，从3位女生中随机挑选1人，有3种不同方法，根据分类加法计数原理，从7位男生和3位女生中随机挑选出1人的所有选法种数是7+3=10.]

3. (2025·吉林长春东北师大附中月考)5位同学去听同时进行的4个课外知识讲座,每个同学可任选一个,则不同的选法种数是 (C)

A.$5^4$
B.$5×4×3×2$
C.$4^5$
D.$5×4$

答案： 3.C[提示：每位同学有4种选择，由分步乘法计数原理得5位同学就有$4×4×4×4×4=4^{5}$种不同选择.]

4. (教材改编题)某小组共有4名男生$a,b,c,d$和3名女生$A,B,C$,若选一名男生和一名女生分别担任组长和干事,共有24种不同的结果.

答案： 4.24[提示：4名男生a,b,c,d选一名男生共有4种不同的结果，3名女生A,B,C选一名女生共有3种不同的结果，一名男生和一名女生分别担任组长和干事共有2种不同的方法，根据分步乘法计数原理可知，共有3×4×2=24种不同的结果.]

5. 用数字1,2,3,4,5,6组成无重复数字的三位数,然后由小到大排成一个数列,这个数列的项数为 (D)

A.24
B.46
C.48
D.120

答案： 5.D[提示：完成这件事需要分别确定百位、十位和个位数，可以先确定百位数，再确定十位数，最后确定个位数，因此分步求解.第一步：确定百位数，有6种方法；第二步：确定十位数，有5种方法；第三步：确定个位数，有4种方法.根据分步乘法计数原理，共有6×5×4=120个三位数，所以这个数列的项数为120.]

6. 由0,1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数是48.

答案： 6.48[提示：先确定百位数字，从1,2,3,4中任取一个有4种，再确定十位数字，从余下的4个数中任选一个有4种，最后确定个位数字，从余下的3个数中任选一个有3种，由分步乘法计数原理知，满足条件的三位数有4×4×3=48(个).]

7. (2025·吉林长春六中高二下第一学程考试)如图,用四种不同颜色给矩形$A,B,C,D$涂色,要求相邻的矩形涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有 (C)


A.12种
B.24种
C.48种
D.72种

答案： 7.C[提示：先涂A区域，再涂B，涂C，涂D，根据分步乘法计数原理共有4×3×2×2=48种涂法.]

8. 将边长为3的正方形$ABCD$的每条边三等分,使之成为$3×3$表格.将其中6个格染成黑色,使得每行、每列都有两个黑格的染色方法种数为 (B)

A.3
B.6
C.9
D.12

答案： 8.B[提示：根据题意可按照“列”选择染色的元素，第一列可有3种选择方式，第二列有2种选择，当第二列确定时，第三列也就确定了.故共有3×2=6种染色方法.]

9. 在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋也会下围棋.现从中选出2人分别参加象棋比赛和围棋比赛,有多少种不同的选法?

答案：
9.解法1：画出示意图，如图所示，既会下象棋又会下围棋的“多面手”有2名学生，从参加象棋比赛的1名学生入手进行分类，可分两类：第1类，参加象棋比赛的1名学生来自只会下象棋的3名学生，有3种选法，会下围棋的人数为2+2=4，再从这4人中选1人参加围棋比赛，有4种选法，根据分步乘法计数原理，参加比赛的选法种数为3×4=12.第2类，参加象棋比赛的1名学生来自2名“多面手”，有2种选法，剩余会下围棋的人数为2+1=3，再从这3人中选1人参加围棋比赛，有3种选法，根据分步乘法计数原理，参加比赛的选法种数为2×3=6.根据分类加法计数原理，不同的选法种数为12+6=18.
解法2：从3名只会下象棋的学生中选一名参加象棋比赛，从2名只会下围棋的学生中选一名参加围棋比赛，有3×2=6种；从3名只会下象棋的学生中选一名参加象棋比赛，从2名既会下象棋也会下围棋的学生中选一名参加围棋比赛，有3×2=6种；从2名既会下象棋也会下围棋的学生中选一名参加象棋比赛，再从2名只会下围棋的学生中选一名参加围棋比赛，有2×2=4种；选两名既会下象棋也会下围棋的学生去参加比赛，有2种安排方法.故共有6+6+4+2=18种不同的选法.

【易错点津】 本题的易错点是确定分类讨论的标准，方法1按照参加象棋比赛的1人的来源进行分类，且分为两类；方法2按照从既能参加象棋比赛又能参加围棋比赛的2人中选的人数与分工分为4类，较方法1容易漏解.不论从哪一个角度分类，原则是“不重复、不遗漏”，否则容易增解或漏解导致错误.

1. 【题型二】(2025·黑龙江哈尔滨九中高二下期中)若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组,每人选报1项,则不同的报名方式有 (A)

A.$3^4$种
B.$4^3$种
C.$3×2×1$种
D.$4×3×2$种

答案： 1.A[提示：4名学生，每人有三种可选方案，根据分步乘法计数原理，4人共有$3×3×3×3=3^{4}$种报名方式.]

2. 【题型三】用5种颜色给如图所示的四面体$ABCD$的每条棱着色,要求每条棱只着一种颜色且共顶点的棱着不同的颜色,则不同的着色方法种数为 (B)


A.900
B.780
C.540
D.360

答案： 2.B[提示：第一步，对棱CD着色，有5种不同的方法.第二步，对棱CA着色，有4种不同的方法.第三步，对棱CB着色，有3种不同的方法.第四步，分两类，依次对AD,AB,BD着色.第一类，AD与BC同色，AD有1种着色方法，着AB时，当AB与CD同色时，AB有1种着色方法，BD有3种着色方法，当AB与CD不同色时，AB有2种着色方法，BD有2种着色方法；第二类，AD与BC不同色，AD有2种着色方法，着AB时，当AB与CD同色时，AB有1种着色方法，BD有2种着色方法，当AB与CD不同色时，AB有1种着色方法，BD有1种着色方法.综上，利用分类加法计数原理与分步乘法计数原理可得，不同的着色方法共有5×4×3×[1×(1×3+2×2)+2×(1×1+1×1)]=780(种).]