《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

1.【题型一】下列随机事件中的随机变量 $X$ 服从超几何分布的是(B)

A.将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 $X$
B.从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 $X$
C.某射手的射击命中率为 0.8，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 $X$
D.盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 $X$

答案： 1.B[提示：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量$X$服从超几何分布.]

2.【题型一】(2025·辽宁辽阳集美中学高二下月考)[多选]下列说法正确的有(ACD)

A.若随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)=4$，则 $E(2X - 1)=7$
B.若随机变量 $Y$ 的方差 $D(Y)=3$，则 $D(2Y + 5)=6$
C.将一枚硬币抛掷 3 次，记正面向上的次数为 $X$，则 $X$ 服从二项分布
D.从 7 男 3 女共 10 名学生中随机选取 5 名学生，记选出女生的人数为 $X$，则 $X$ 服从超几何分布

答案： 2.ACD[提示：对于A,$E(2X - 1) = 2E(X) - 1 = 2 × 4 - 1 = 7$，故A正确；对于B,$D(2Y + 5) = 4D(Y) = 4 × 3 = 12$，故B错误；对于C，根据二项分布的概念可知随机变量$X$服从$B(3,\frac{1}{2})$，故C正确；对于D，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确.]

3.【题型二、三】(2025·安徽合肥六校高二下期末联考)2024 年 5 月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票 3 枚，巢湖是继《太湖》(5 枚)、《鄱阳湖》(3 枚)、《洞庭湖》(4 枚)后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖。现从 15 枚邮票中随机抽取 2 枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为 $X$，则 $E(X)$ 等于(A)

A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{2}{3}$
C.1
D.$\frac{3}{2}$

答案： 3.A[提示：依题意，$X$的可能取值有0,1,2，所以$P(X = 0) =$
$\frac{C_{12}^{2}C_{3}^{0}}{C_{15}^{2}} = \frac{22}{35}$,$P(X = 1) = \frac{C_{12}^{1}C_{3}^{1}}{C_{15}^{2}} = \frac{12}{35}$,$P(X = 2) = \frac{C_{12}^{0}C_{3}^{2}}{C_{15}^{2}} = \frac{1}{35}$,故$E(X)$
$= 0 × \frac{22}{35} + 1 × \frac{12}{35} + 2 × \frac{1}{35} = \frac{2}{5}$.]

4.【题型三】已知在 10 件产品中可能存在次品，从中抽取 2 件检查，其中次品数为 $\xi$，已知 $P(\xi = 1)=\frac{16}{45}$，且该产品的次品率不超过 40%，则这 10 件产品的次品率为(B)

A.10%
B.20%
C.30%
D.40%

答案： 4.B[提示：设10件产品中有$x$件次品，则$P(\xi = 1) = \frac{C_{x}^{1} · C_{10 - x}^{0}}{C_{10}^{1}}$
$= \frac{x(10 - x)}{45} = \frac{16}{45}$，所以$x = 2$或8.因为次品率不超过40%，所以$x = 2$，所以次品率为$\frac{2}{10} = 20\%$.]

5.【题型三】《周易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中。如图所示，白圈为阳数，黑点为阴数。若从这 10 个数中任取 3 个数，则这 3 个数中至少有 2 个阳数的概率为(C)


A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 5.C[提示：由题意可知10个数中，1,3,5,7,9是阳数，2,4,6,8,
10是阴数，若任取3个数中有2个阳数，则概率为$\frac{C_{5}^{2}C_{5}^{1}}{C_{10}^{3}} =$
$\frac{10 × 5}{120} = \frac{5}{12}$，若任取3个数中有3个阳数，则概率为$\frac{C_{5}^{3}}{C_{10}^{3}} =$
$\frac{10}{120} = \frac{1}{12}$，故这3个数中至少有2个阳数的概率为$\frac{5}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$.]

6.【题型二】盒中有 2 个白球，3 个黑球，从中任取 3 个球，以 $X$ 表示取到白球的个数，$\eta$ 表示取到黑球的个数。给出下列各项：
①$E(X)=\frac{6}{5}$，$E(\eta)=\frac{9}{5}$；②$E(X^2)=E(\eta)$；③$E(\eta^2)=E(X)$；④$D(X)=D(\eta)=\frac{9}{25}$。
其中正确的是①②④。(填序号)

答案： 6.①②④[提示：由题意$X$服从超几何分布，$\eta$也服从超几何分布，$\therefore E(X) = \frac{2 × 3}{5} = \frac{6}{5}$,$E(\eta) = \frac{3 × 3}{5} = \frac{9}{5}$.又$X$的分布列为：
$X$ 0 1 2
$P$ $\frac{1}{10}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{3}{10}$
$\therefore E(X^{2}) = 0^{2} × \frac{1}{10} + 1^{2} × \frac{3}{5} + 2^{2} × \frac{3}{10} = \frac{9}{5} + \frac{6}{5} = \frac{9}{5}$，$D(X) = E(X^{2}) -$
$[E(X)]^{2} = \frac{9}{5} - (\frac{6}{5})^{2} = \frac{9}{25}$.$\eta$的分布列为：
$\eta$ 1 2 3
$P$ $\frac{3}{10}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{1}{10}$
$\therefore E(\eta^{2}) = 1^{2} × \frac{3}{10} + 2^{2} × \frac{3}{5} + 3^{2} × \frac{1}{10} = \frac{18}{5}$，$D(\eta) = E(\eta^{2}) -$
$[E(\eta)]^{2} = \frac{18}{5} - (\frac{9}{5})^{2} = \frac{9}{25}$.$\therefore E(X^{2}) = E(\eta)$,$D(X) = D(\eta)$
$= \frac{9}{25}$，$\therefore$①②④正确.]