《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

1. 下列问题中排列问题的个数是(C)
①10 本不同的书分给 10 名同学，每人 1 本，共有多少种分法？
②10 位同学两两互通一封信，共有多少封信？
③任意三点均不共线的 10 个点构成的线段共有多少条？

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： C[提示：由排列的定义，可知①②是排列问题，③不是排列问题.]

2. 判断下列问题是否为排列问题.
(1)会场有 50 个座位，任意选出 3 个座位有多少种方法？若选出 3 个座位安排三位客人，又有多少种方法？
(2)从集合 $ M = \{ 1,2,·s,9 \} $ 中，任取两个元素作为 $ a,b $ 的值，可以得到多少个焦点在 $ x $ 轴上的椭圆方程 $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 $？可以得到多少个焦点在 $ x $ 轴上的双曲线方程 $ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 $？
(3)平面上有 5 个点，其中任意三个点不共线，这 5 个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？

答案： 解：
(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题.
(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$表示焦点在$x$轴上的椭圆，则必有$a＞b$，$a$，$b$的大小关系一定；在方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$中，不管$a＞b$还是$a＜b$，方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$均表示焦点在$x$轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题.
(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.

3. (2025·黑龙江哈尔滨三中高二下期中)已知 $ A_{10}^{n} = 10×9×8×7 $，则 $ n $ 的值为(B)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： B[提示：因为$A_{10}^{n}=10×9×·s×(11 - n)$，所以$11 - n = 7$，则$n = 4$.]

4. 已知 $ 3A_{x}^{3} = 2A_{x + 1}^{2}+6A_{x}^{2} $，求 $ x $ 的值.

答案： 解：由$3A_{x}^{3}=2A_{x + 1}^{2}+6A_{x}^{2}$，得$3x(x - 1)(x - 2)=2(x + 1)x + 6x(x - 1)$.因为$x\geq3$且$x\in N^{*}$，所以$3x^{2}-17x + 10 = 0$，解得$x = 5$或$x=\frac{2}{3}$(舍去).所以$x = 5$.

5. 求证：$ A_{n}^{m}+mA_{n - 1}^{m - 1}+m(m - 1)A_{n - 1}^{m - 2} = A_{n + 1}^{m}(n,m\in\mathbf{N} $，且 $ n\geqslant m＞2) $.

答案： 证明：左边$=\frac{n!}{(n - m)!}+m·\frac{(n - 1)!}{[(n - 1)-(m - 1)]!}+m(m - 1)·\frac{(n - 1)!}{[(n - 1)-(m - 2)]!}=\frac{n!}{(n - m)!}+\frac{m·(n - 1)!}{(n - m)!}+\frac{m(m - 1)·(n - 1)!}{(n + 1 - m)!}=\frac{(n + 1 - m)· n!+(n + 1 - m)· m·(n - 1)!+m(m - 1)·(n - 1)!}{(n + 1 - m)!}=\frac{(n + 1)!}{(n + 1 - m)!}=A_{n + 1}^{m}=$右边.

6. (教材改编题)某电影要在 5 所大学里轮流放映，则不同的轮映顺序有(C)

A.25 种
B.$ 5^{5} $ 种
C.$ A_{5}^{5} $ 种
D.$ 5^{3} $ 种

答案： C[提示：依题意，只需将5所大学全排列即可，即不同的轮映顺序有$A_{5}^{5}$种.]

7. (教材改编题)火车站有 5 股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放 3 列不同的火车，则不同的停放方法有(B)

A.$ C_{5}^{3} $ 种
B.$ A_{5}^{3} $ 种
C.$ 5^{3} $ 种
D.$ 3^{5} $ 种

答案： B[提示：火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同的火车，它是排列问题，所以不同的停放方法有$A_{5}^{3}$种.]

8. 将 0，1，2，3，4 这 5 个数组成无重复数字的不同的五位偶数的个数为(C)

A.24
B.54
C.60
D.72

答案： C[提示：当个位数字是0时，五位偶数的个数为$A_{4}^{4}=24$；当个位数字不是0时，五位偶数的个数为$A_{2}^{1}A_{4}^{1}A_{4}^{3}=36$.故所求五位偶数的个数为$24 + 36 = 60$.]

9. 甲、乙等 6 个人按下列要求站成一横排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站最右端，也不站最左端；
(2)甲、乙站在两端；
(3)甲不站最左端，乙不站最右端.

答案：
(1)解法1(位置分析法)：因为甲不站左、右两端，故先从甲以外的5个人中任选2个人站在左、右两端，有$A_{5}^{2}$种站法，再让剩下的4个人站在中间的4个位置上，有$A_{4}^{4}$种站法.由分步乘法计数原理知，不同的站法共有$A_{5}^{2}A_{4}^{4}=480$(种). 解法2(元素分析法)：因为甲不能站左、右两端，故先让甲站在除左、右两端之外的任一位置上，有$A_{4}^{1}$种站法，再让余下的5个人站在其他5个位置上，有$A_{5}^{5}$种站法.故不同的站法共有$A_{4}^{1}A_{5}^{5}=480$(种). 解法3(排除法)：在排列时，不考虑甲站位的要求，有$A_{6}^{6}$种站法，但其中包含甲站在最左端或最右端的情况，甲在最左端或最右端有$2A_{5}^{5}$种站法，于是不同的站法共有$A_{6}^{6}-2A_{5}^{5}=480$(种).
(2)解：首先考虑两端的两个位置，由甲、乙站在两端，有$A_{2}^{2}$种站法，再让其他4个人在中间4个位置进行全排列，有$A_{4}^{4}$种站法，根据分步乘法计数原理知，不同的站法共有$A_{2}^{2}A_{4}^{4}=48$(种).
(3)解法1(排除法)：在排列时，先不考虑甲、乙站位的要求，有$A_{6}^{6}$种站法，甲在最左端的站法有$A_{5}^{5}$种，乙在最右端的站法有$A_{5}^{5}$种，而甲在最左端且乙在最右端的站法有$A_{4}^{4}$种，故不同的站法共有$A_{6}^{6}-2A_{5}^{5}+A_{4}^{4}=504$(种). 解法2：以甲的位置为依据，可分两类：第一类，甲在最右端，有$A_{5}^{5}$种站法；第二类，甲站在中间4个位置中的任一位置，且乙不站最右端，则可先排甲后排乙，再排其余4个，有$A_{4}^{1}A_{4}^{1}A_{4}^{4}$种站法.故不同的站法共有$A_{5}^{5}+A_{4}^{1}A_{4}^{1}A_{4}^{4}=504$(种). 解法3：根据题意，可分为4种情况：①甲、乙既不站在最左端，也不站在最右端，有$A_{4}^{2}A_{4}^{4}$种站法；②甲站在最右端，乙不站在最左端，有$A_{4}^{1}A_{4}^{4}$种站法；③乙站在最左端，甲不站在最右端，有$A_{4}^{1}A_{4}^{4}$种站法；④甲站在最右端，乙站在最左端，有$A_{4}^{4}$种站法.根据分类加法计数原理知，不同的站法共有$A_{4}^{2}A_{4}^{4}+A_{4}^{1}A_{4}^{4}+A_{4}^{1}A_{4}^{4}+A_{4}^{4}=504$(种).