《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

4. (2025·天津)小桐在操场跑圈，一周跑2次，每次跑5圈或6圈，第一次跑5圈或6圈的概率均为$0.5$.若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为$0.4$，跑6圈的概率为$0.6$；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为$0.6$，跑6圈的概率为$0.4$.则：小桐一周跑11圈的概率为_；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为$X$，则期望$E(X)=$_.0.6 3.2

答案： 4.0.6 3.2[提示：设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件B，设第二次跑5圈为事件C，则$P(A)=P(B) · P(\overline{C}|B)+P(B)P(C|B)=0.5 × 0.6+0.5 × 0.6 = 0.6$.若至少跑11圈为运动量达标为事件D，$P(D)=P(A)+P(\overline{B})P(C|\overline{B})=0.6+0.5 × 0.4 = 0.8$，所以$X \sim B(4,0.8)$，$E(X)=4 × 0.8 = 3.2$.]
＜素养点评＞ 该题通过结合实际情境的概率问题，综合考查了运用概率知识分析问题、建立模型、逻辑推理和准确运算的能力，以及数学核心素养中“逻辑推理、数学建模、数学运算”的综合应用与提升.

5. (2025·全国Ⅰ)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记$X$为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则$X$的数学期望$E(X)=$_.

答案： 5.$\frac{61}{25}$[提示：方法一：依题意，X的可能取值为1,2,3，总的选取可能数为$5^{3}=125$，其中X = 1：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故$P(X = 1)=\frac{5}{125}=\frac{1}{25}$；X = 2：恰好两种不同的球被取出(即一球出现两次，另一球出现一次)，选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X = 2的可能情况有$5 × 4 × 3 = 60$(种)，故$P(X = 2)=\frac{60}{125}=\frac{12}{25}$；X = 3：三种不同球被取出，由排列数可知事件X = 3的可能情况有$5 × 4 × 3 = 60$(种)，故$P(X = 3)=\frac{60}{125}=\frac{12}{25}$.所以$E(X)=1 × P(X = 1)+2 × P(X = 2)+3 × P(X = 3)=1 × \frac{1}{25}+2 × \frac{12}{25}+3 × \frac{12}{25}=\frac{61}{25}$.方法二：依题意，假设随机变量$X_{i}$，其中$i = 1,2,3,4,5$，其中$X_{i}=\begin{cases}1, & 这3次选取中，球i至少被取出一次 \\ 0, & 这3次选取中，球i一次都没被取出\end{cases}$，所以$X=\sum_{i = 1}^{5}X_{i}$，因为球的对称性，易知$E(X_{i})$相等，所以由期望的线性性质，得$E(X)=E(\sum_{i = 1}^{5}X_{i})=\sum_{i = 1}^{5}E(X_{i})$，因为抽取独立，三次均未取出球i的概率为$P(X_{i}=0)=(\frac{4}{5})^{3}=\frac{64}{125}$，所以球i至少被取出一次的概率为$P(X_{i}=1)=1 - \frac{64}{125}=\frac{61}{125}$，故$E(X_{i})=\frac{61}{125}$，所以$E(X)=5E(X_{i})=5 × \frac{61}{125}=\frac{61}{25}$.]

6. (2025·北京)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率$p$.
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设$X$为这2名学生中该题选择正确的人数，估计$X=1$的概率及$X$的数学期望.
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为$100\%$，乙校学生选择正确的概率为$85\%$.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为$p_{1},p_{2}$，判断$p_{1}$与$p_{2}$的大小(结论不要求证明).

答案： 6.解：
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率$p = \frac{80}{100}=\frac{4}{5}$.
(2)设A为“从甲校抽取1人做对”，则$P(A)=0.8$，$P(\overline{A})=0.2$，设B为“从乙校抽取1人做对”，则$P(B)=0.75$，$P(\overline{B})=0.25$，设C为“恰有1人做对”，故$P(C)=P(A)P(\overline{B})+P(\overline{A})P(B)=P(A) · P(\overline{B})+P(\overline{A}) · P(B)=0.35$.依题可知X可取0,1,2，$P(X = 0)=P(AB)=0.05$，$P(X = 1)=0.35$，$P(X = 2)=0.8 × 0.75 = 0.6$，故X的分布列如下：
$X$ 0 1 2
$P$ 0.05 0.35 0.6
故$E(X)=1 × 0.35+2 × 0.6 = 1.55$.
(3)设D为“甲校掌握这个知识点

7. (2024·北京)某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：

假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立，用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
①记$X$为一份保单的毛利润，估计$X$的数学期望$E(X)$；
②如果无索赔的保单的保费减少$4\%$，有索赔的保单的保费增加$20\%$，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与①中$E(X)$估计值的大小.(结论不要求证明)

答案：
(1) $ 0.1 $；
(2) ① $ 0.122 $ 万元；② 新情况下的数学期望估计值更大。