《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

1. (2025·吉林长春吉大附中实验学校月考)[多选]下列试验不是n重伯努利试验的是 (ACD)

A.依次投掷四枚质地不同的硬币
B.某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次
C.口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球,依次从中抽取5个球
D.小明做10道难度不同的数学单选题

答案： 1.ACD[提示：对于A，因为试验的条件不同(硬币质地不同)，
所以不是n重伯努利试验.对于B，某人射击，击中目标的概率是稳定的，所以是n重伯努利试验.对于C，每次抽取，每种颜色出现的可能性不相等，所以不是n重伯努利试验.
对于D，10道题难度不同，每道题做对的概率也不同，所以
不是n重伯努利试验.]

2. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次,出现正面的次数为随机变量X,则X=2的不同情形有6种,P(X=2)=$\frac{3}{8}$(用数字作答).

答案： 2.$\frac{3}{8}$[提示：将一枚质地均匀的硬币连续抛4次，出现正面
的次数为随机变量X,X=2的不同情形有$\mathrm{C}_{4}^{2}=6$种，即正正
反反、正反正反、正反反正、反正正反、反正反正、反反正正，
$\therefore P(X=2)=\mathrm{C}_{4}^{2}(\frac{1}{2})^{4}=\frac{3}{8}$.]

3. (教材改编题)[多选]下列例子中随机变量X服从二项分布的有 (AC)

A.X表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数
B.某射手击中目标的概率为0.9,X表示从开始射击到击中目标所需次数
C.有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用有放回抽取方法,X表示n次抽取中出现次品的件数
D.有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用不放回抽取方法,X表示n次抽取中出现次品的件数

答案： 3.AC[提示：对于A,设事件E为“抛掷一枚骰子出现的点数
是3的倍数”，则$P(E)=\frac{1}{3}$，所以在n重伯努利试验中事件
E恰好发生了$k(k=0,1,2,·s,n)$次的概率$P(X=k)=\mathrm{C}_{n}^{k}×(\frac{1}{3})^{k}×(\frac{2}{3})^{n-k}$，符合二项分布的定义，即有$X\sim B(n,\frac{1}{3})$.
对于B,X的取值是$1,2,3,·s,n,P(X=k)=0.9×0.1^{k-1}(k=1,2,3,·s,n)$，显然不符合二项分布的定义，所以X不服从
二项分布.选项C与D的区别是：C是“有放回”抽取，而D
是“无放回”抽取，显然D中n次试验是不独立的，所以X
不服从二项分布，对于C，X显然服从二项分布，且X
$\sim B(n,\frac{M}{N})$.]

4. (教材改编题)下列说法正确的有 (C)
①某同学投篮的命中率为0.7,他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量,且X服从二项分布B(10,0.7);
②某福彩中奖概率为p,某人一次买了20张彩票,中奖张数X是一个随机变量,且X服从二项分布B(20,p);
③从装有大小与质地相同的5个红球、5个白球的袋中有放回地摸球,直到摸出白球为止,则摸球次数X是随机变量,且X服从二项分布B(n,\$\frac{1}{2}\$).

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

答案： 4.C[提示：①某同学投篮投中的概率为0.7，该同学重复10
次投篮，则命中次数X服从二项分布$X\sim B(10,0.7)$，故①
正确；②福彩中奖概率为p，某人一次买了20张，中奖张数
X是一个随机变量，满足二项分布$X\sim B(20,p)$，故②正确；
③从装有5个红球、5个白球的袋中有放回地摸球，直到摸
出白球为止，则摸球次数X是随机变量，则X的可能取值为
$1,2,3,·s,n,·s$，且$P(X=1)=\frac{1}{2},P(X=2)=(\frac{1}{2})^{2},P(X=$
3)$=(\frac{1}{2})^{3},·s,P(X=n)=(\frac{1}{2})^{n}$，$·s$，不是二项分布，故③
不正确.]

5. 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次,随机变量X表示“正面朝上”出现的次数.
(1)求X的分布列;
(2)求E(X).

答案： 5.解：
(1)由题意，抛一枚均匀的硬币，正、反面朝上的概率均
为$\frac{1}{2}$，所以将一枚均匀的硬币重复抛掷4次，正面朝上的次
数$X\sim B(4,\frac{1}{2})$，故$P(X=k)=\mathrm{C}_{4}^{k}(\frac{1}{2})^{k}(\frac{1}{2})^{4-k}=$
$\mathrm{C}_{4}^{k}(\frac{1}{2})^{4}$，$0\leq k\leq4,k\in\mathbf{Z}$，即$P(X=0)=\frac{1}{16}$，$P(X=1)=\frac{1}{4}$，
$P(X=2)=\frac{3}{8}$，$P(X=3)=\frac{1}{4}$，$P(X=4)=\frac{1}{16}$，故X的分布列
如下：
$X$ 0 1 2 3 4
$P$ $\frac{1}{16}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{16}$
(2)$\because X\sim B(4,\frac{1}{2})$，$\therefore E(X)=0×\frac{1}{16}+1×\frac{1}{4}+2×\frac{3}{8}+3×\frac{1}{4}+4$
$×\frac{1}{16}=2$.
【特别提示】
(1)当X服从二项分布时，应弄清$X\sim B(n$，
$p)$中的试验次数n与成功概率p.
(2)解决二项分布问题的两个关注点：①对于公式$P(X=k)$
$=\mathrm{C}_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}(k=0,1,2,·s,n)$，必须在满足“n次独立重
复试验”时才能运用.②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必居其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.

6. 随机变量ξ~B(4,p),若D(ξ)=1,则E(ξ)等于 (D)

A.\$\frac{1}{2}\$
B.\$\frac{3}{5}\$
C.1
D.2

答案： 6.D[提示：因为$\xi\sim B(4,p)$，所以$D(\xi)=4× p×(1-p)=1$，即
$4p^{2}-4p+1=0$，解得$p=\frac{1}{2}$，因此$E(\xi)=4p=2$.]

7. 已知随机变量X~B(n,p),且E(X)=4,D(X)=2,则P(X=1)等于 (C)

A.$\frac 1{2^3}$

B.$\frac{1}{2^{4}}$
C.$\frac{1}{2^{5}}$
D.$\frac{1}{2^{6}}$

答案： 7.C[提示：由二项分布的方差和期望公式可得
$\begin{cases}E(X)=np=4,\\D(X)=np(1-p)=2,\end{cases}$解得$p=\frac{1}{2}$，$n=8$，故$P(X=1)=\mathrm{C}_{8}^{1}×$
$(\frac{1}{2})^{1}×(\frac{1}{2})^{7}=\frac{8}{2^{8}}=\frac{1}{2^{5}}$.]

8. 一质地均匀的正方体的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6,现连续抛掷该正方体n次,发现落地后向上数字大于4的平均次数不小于3,则抛掷次数n的最小值为 (C)

A.6
B.8
C.9
D.12

答案： 8.C[提示：由题意，每次抛掷正方体落地后出现向上数字大于
4的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，设X表示抛掷n次落地后向上数字大
于4的次数，则$X\sim B(n,\frac{1}{3})$，由题意$E(X)\geq3$，即$\frac{1}{3}n\geq3$，
所以$n\geq9$，所以n的最小值为9.]