《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

1. (2024·吉林长春二中月考)甲、乙、丙三人相互做传球训练,第 1 次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.
(1)求 2 次传球后球在甲手中的概率.
(2)设 $ n $ 次传球后球在甲手中的概率为 $ P_{n} $,求证:
①$\{ P_{n}-\frac {1}{3}\}$ 为等比数列;
②当 $ n\geq 2 $ 时,$ P_{n}\leq \frac {1}{2} $.

答案：
(1)解：依题意，2次传球后球在甲手中包括两种情况，即：
甲乙甲和甲丙甲，所以2次传球后球在甲手中的概率为$\frac{1}{2} × \frac{1}{2} + \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
(2)证明：①记$A_n$表示事件“经过$n$次
传球后，球在甲的手中”，设$n$次传球后球在甲手中的概
率为$P_n$,$n = 1,2,3,·s,n$，则有$P_1 = 0$,$A_{n + 1} = \overline{A_n} · A_{n + 1} + A_n · A_{n + 1}$，所以$P_{n + 1} = P(\overline{A_n} · A_{n + 1} + A_n · A_{n + 1}) = P(A_n · A_{n + 1}) + P(\overline{A_n} · A_{n + 1}) = P(A_n) · P(A_{n + 1} \mid A_n) + P(\overline{A_n}) · P(A_{n + 1} \mid \overline{A_n}) = (1 - P_n) · \frac{1}{2} + P_n · 0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}P_n$，即$P_{n + 1} = - \frac{1}{2}P_n + \frac{1}{2}$,$n = 1,2,3,·s$，所以$P_{n + 1} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{2}(P_n - \frac{1}{3})$，且$P_1 - \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}$，
所以数列$\{P_n - \frac{1}{3}\}$表示以$- \frac{1}{3}$为首项，$- \frac{1}{2}$为公比的等比数
列.
②$P_n - \frac{1}{3} = - \frac{1}{3} × ( - \frac{1}{2})^{n - 1}$，所以$P_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} × ( - \frac{1}{2})^{n - 1}(n \in \mathbf{N}^*)$，当$n$为大于1的奇数时，$P_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} × (\frac{1}{2})^{n - 1} ＜ \frac{1}{3} ＜ \frac{1}{2}$;当$n$为正偶数时，$P_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} × (\frac{1}{2})^{n - 1} \leq \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$.综上所述，当$n \geq 2$时，$P_n \leq \frac{1}{2}$.

2. (2025·河南郑州一中月考)甲、乙两人参加某答题挑战赛,规则如下:每次由其中一人答题,若答对了,则此人继续答题,若未答对,则换对方答题,每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题,给出文学题的概率为 $\frac {1}{3}$,给出科学题的概率为 $\frac {2}{3}$.已知甲答对文学题与科学题的概率分别为 $\frac {1}{2},\frac {3}{4}$,乙答对文学题与科学题的概率均为 $\frac {1}{2}$,且各轮答题正确与否相互独立.由抽签确定第 1 次答题的人选,第 1 次答题的人是甲、乙的概率各为 $\frac {1}{2}$.
(1)已知第 1 次甲答题,求甲答对题目的概率;
(2)求第 2 次答题的人是乙的概率;
(3)求第 $ i $ 次答题的人是甲的概率.

答案： 解：
(1)甲答对题目的概率为$\frac{1}{3} × \frac{1}{2} + \frac{2}{3} × \frac{3}{4} = \frac{2}{3}$.
(2)乙
答对题目的概率为$\frac{1}{3} × \frac{1}{2} + \frac{2}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.记“第$i$次答题
的人是甲”为事件$A_i$，“第$i$次答题的人是乙”为事件$B_i$，所以
$P(B_2) = P(A_1B_2) + P(B_1B_2) = P(A_1)P(B_2 \mid A_1) + P(B_1) ·P(B_2 \mid B_1) = \frac{1}{2} × (1 - \frac{2}{3}) + \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$.
(3)设$P(A_i) = p_i$，
依题可知$P(B_i) = 1 - p_i$，则$P(A_{i + 1}) = P(A_iA_{i + 1}) + P(B_iA_{i + 1}) =P(A_i)P(A_{i + 1} \mid A_i) + P(B_i)P(A_{i + 1} \mid B_i)$，即$p_{i + 1} = \frac{2}{3}p_i +(1 - \frac{1}{2}) × (1 - p_i) = \frac{1}{6}p_i + \frac{1}{2}$.设$p_{i + 1} + \lambda = \frac{1}{6}(p_i + \lambda)$，解得$\lambda = \frac{3}{5}$，则$p_{i + 1} - \frac{3}{5} = \frac{1}{6}(p_i - \frac{3}{5})$.又$p_1 = \frac{1}{2}$，$p_1 - \frac{3}{5} = - \frac{1}{10} \neq 0$，
所以$\{p_i - \frac{3}{5}\}$是首项为$- \frac{1}{10}$，公比为$\frac{1}{6}$的等比数列，即$p_i - \frac{3}{5} = - \frac{1}{10} × (\frac{1}{6})^{i - 1}$，$p_i = \frac{3}{5} - \frac{1}{10} × (\frac{1}{6})^{i - 1}$.

3. (2025·黑龙江哈尔滨六中月考)一种掷骰子走跳棋的游戏:棋盘上标有第 0 站、第 1 站、第 2 站、…、第 100 站,共有 101 站,设棋子跳到第 $ n $ 站的概率为 $ P_{n} $,一枚棋子开始在第 0 站,棋手每掷一次骰子,棋子向前跳动一次.若掷出奇数点,棋子向前跳一站;若掷出偶数点,棋子向前跳两站,直到棋子跳到第 99 站(获胜)或第 100 站(失败)时,游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的正方体形状的游戏玩具,它的六个面分别标有点数 1,2,3,4,5,6).
(1)求 $ P_{0},P_{1},P_{2} $,并根据棋子跳到第 $ n $ 站的情况,试用 $ P_{n - 2} $ 和 $ P_{n - 1} $ 表示 $ P_{n} $;
(2)求证:$\{ P_{n}-P_{n - 1}\}(n = 1,2,·s,100)$ 为等比数列;
(3)求玩该游戏获胜的概率.

答案：
(1)解：根据题意可知骰子出现的点数之间是相互独立的.
棋子开始在第0站是必然事件，所以$P_0 = 1$.棋子跳到第1
站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为$\frac{1}{2}$，
所以$P_1 = \frac{1}{2}$.棋子跳到第2站，包括两种情形：①第一次掷
骰子出现偶数点，其概率为$\frac{1}{2}$;②前两次掷骰子都出现奇数
点，其概率为$\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.所以$P_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.棋子跳到
第$n(2 \leq n \leq 99)$站，包括两种情形：①棋子先跳到第$n - 2$
站，又掷骰子出现偶数点，其概率为$\frac{1}{2}P_{n - 2}$;②棋子先跳到
第$n - 1$站，又掷骰子出现奇数点，其概率为$\frac{1}{2}P_{n - 1}$.故$P_n =\frac{1}{2}P_{n - 2} + \frac{1}{2}P_{n - 1}$.
(2)证明：由
(1)知$P_n = \frac{1}{2}P_{n - 2} + \frac{1}{2}P_{n - 1}$，
所以$P_n - P_{n - 1} = - \frac{1}{2}(P_{n - 1} - P_{n - 2})$.又因为$P_1 - P_0 = \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}$，所以$\{P_n - P_{n - 1}\}(n = 1,2,·s,100)$是首项为$- \frac{1}{2}$，公比
为$- \frac{1}{2}$的等比数列.
(3)解：由
(2)得$P_n - P_{n - 1} = - \frac{1}{2} ×( - \frac{1}{2})^{n - 1} = ( - \frac{1}{2})^n$，所以$P_{99} = (P_{99} - P_{98}) + (P_{98} - P_{97}) + ·s +(P_1 - P_0) + P_0 = ( - \frac{1}{2})^{99} + ( - \frac{1}{2})^{98} + ·s + ( - \frac{1}{2}) + 1 =( - \frac{1}{2})[1 - ( - \frac{1}{2})^{99}] ÷1 - ( - \frac{1}{2}) = \frac{2}{3}(1 - \frac{1}{2^{100}})$，所以玩该游戏获胜
的概率为$\frac{2}{3}(1 - \frac{1}{2^{100}})$。