《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

新考法2 以文化人，以文育人
10. (2025·黑龙江哈尔滨三中月考)五行理论在中医和哲学中有着广泛的应用。古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系。如图是五行图，现有 5 种颜色可供选择给五行涂色，要求五行相生不能用同一种颜色(例如金生水，水生木，不能同色)，五行相克可以用同一种颜色(例如水克火，木克土，可以用同一种颜色)，则不同的涂色方法有(B)


A.960 种
B.1020 种
C.2150 种
D.3125 种

答案：
10. B[提示：五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件.五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题.如图所示，分为以下两类情况：第一类：$A,C,D$三个区域涂三种不同的颜色，第一步涂$A,C,D$区域，从5种不同的颜色中选3种按序涂在不同的3个区域上，则有$A_{5}^{3}$种涂色方法；第二步涂$B$区域，由于$A,C$颜色不同，则有3种涂色方法；第三步涂$E$区域，由于$A,D$颜色不同，则有3种涂色方法.由分步乘法计数原理，得共有$3×3A_{5}^{3}=540$种涂色方法. 第二类：$A,C,D$三个区域涂两种不同的颜色，由$C,D$不能涂同一种颜色，得$A,C$涂同一种颜色，或$A,D$涂同一种颜色.若$A,C$涂一种颜色，第一步涂$A,C,D$区域，$A,C$可看成同一区域，且$A,D$区域不同色，即从5种不同的颜色中选2种按序涂在不同的2个区域上，则有$A_{5}^{2}$种涂色方法；第二步涂$B$区域，由于$A,C$颜色相同，则有4种涂色方法；第三步涂$E$区域，由于$A,D$颜色不同，则有3种涂色方法.由分步乘法计数原理，得共有$4×3A_{5}^{2}=240$种涂色方法.若$A,D$涂一种颜色，与$A,C$涂一种颜色的方法数相同，所以第二类共有$2×240 = 480$种涂色方法.由分类加法计数原理知，不同的涂色方法共有$540 + 480 = 1020$(种).]

11. (2025·陕西汉中一中高二下月考)1679 年，莱布尼茨发明了二进制系统，即在数学和数字电路中以 2 为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号 0 和 1 来表示。现代的计算机和依赖计算机的设备里都使用二进制。设正整数 $ n = a_{0} · 2^{0} + a_{1} · 2^{1} + a_{2} · 2^{2} + ·s + a_{k} · 2^{k} $，$ k \in N $，其中 $ a_{i} \in \{0, 1\} $，$ i = 0, 1, 2, ·s, k $，令 $ S_{n} = a_{k} + ·s + a_{2} + a_{1} + a_{0} $，若 $ k = 9 $，且 $ S_{n} = 3 $，则 $ n $ 有120种情况。(用数字作答)

答案： 11. 120[提示：因为$k = 9$，且$S_{9}=3$，所以$a_{0},a_{1},a_{2},·s,a_{9}$这10个数中恰有3个1，其余为0，故$n = C_{10}^{3}=120$种情况.]

新考法3 开放探究问题
12. (2025·上海外国语附中高二下期中)已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共 8 个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是 $ \frac{5}{8} $，得到黄球或蓝球的概率是 $ \frac{3}{4} $。
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数。
(2)随机试验：从盒中不放回地取球两次，每次任取一球记下颜色。设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜。从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由。

答案： 12. 解：
(1)从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件$A,B,C$，因为$A,B,C$为两两互斥事件，由已知得$\begin{cases}P(A)+P(B)+P(C)=1,\\P(A)+P(B)=\frac{5}{8},\\P(B)+P(C)=\frac{3}{4},\end{cases}$解得$\begin{cases}P(A)=\frac{1}{4},\\P(B)=\frac{3}{8},\\P(C)=\frac{3}{8}.\end{cases}$所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2,3,3.
(2)这个游戏不公平，理由如下：记“取到两个球颜色相同”为事件$M$，“取到两个球颜色不相同”为事件$N$，则$P(M)=\frac{C_{2}^{2}+C_{3}^{2}+C_{3}^{2}}{C_{8}^{2}}=\frac{7}{28}=\frac{1}{4}$，所以$P(N)=1 - P(M)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，所以$P(M)\lt P(N)$，所以此游戏不公平.

13. (2025·北京东城区高三模拟)已知近 10 年北京市 12 月和 1 月历史气温分别如图所示。
(1)从 2016 年至 2024 年这 9 年中随机抽取一年，求该年 12 月平均高温和平均低温都低于前一年的概率。
(2)将当年 12 月和次年 1 月作为当年的冬季周期，记当年 12 月平均高温与平均低温的差值为 $ a $(单位：摄氏度)，次年 1 月平均高温与平均低温的差值为 $ b $(单位：摄氏度)，从 2015 年至 2024 年这 10 个冬季周期中随机抽取 3 个，求至少有 2 个冬季周期中 $ a = b $ 的概率。
(3)依据图 2 中信息，能否预测北京市 2026 年 1 月平均高温低于 4 摄氏度？请说明理由。

答案： 13. 解：
(1)由图可知从2016年至2024年12月平均高温和平均低温都低于前一年的有2017,2018,2020,2022，所以从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率为$\frac{4}{9}$.
(2)由已知可得从2015年至2024年这10个冬季周期平均高温与平均低温的差值分别为$(8,8)$，$(10,9)$，$(10,9)$，$(9,10)$，$(9,10)$，$(9,9)$，$(11,9)$，$(10,11)$，$(9,9)$，$(10,10)$，满足$a = b$的有4个，从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，至少有2个冬季周期中$a = b$的概率为$\frac{C_{4}^{2}C_{6}^{1}+C_{4}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{6×6 + 4}{120}=\frac{40}{120}=\frac{1}{3}$.
(3)不能预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度，理由如下：从题图2可以看出，1月平均高温数据虽有波动，但没有明显的单调递增或递减的线性趋势.