《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

1. (2025·吉林长春二中月考) [多选] 已知三个正态分布密度函数$\varphi _ { i } ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { i } } \mathrm { e } ^ { - \frac { ( x - \mu _ { i } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { i } ^ { 2 } } } ( i = 1, 2, 3 )$的图象如图所示，下列关于$\mu _ { 1 }, \mu _ { 2 }, \mu _ { 3 }, \sigma _ { 1 }, \sigma _ { 2 }, \sigma _ { 3 }$的大小关系正确的是 (AB)

A.$\mu _ { 1 } ＜ \mu _ { 2 } = \mu _ { 3 }$
B.$\sigma _ { 1 } = \sigma _ { 2 } ＜ \sigma _ { 3 }$
C.$\mu _ { 1 } ＞ \mu _ { 2 } = \mu _ { 3 }$
D.$\sigma _ { 1 } = \sigma _ { 2 } ＞ \sigma _ { 3 }$

答案： 1.AB[提示：正态分布曲线关于直线$x = \mu$对称，且$\mu$越大图象的对称轴越靠近右边，所以第一个曲线的均值比第二和第三的均值小，且第二、三个的均值相等，所以$\mu_1 ＜ \mu_2 = \mu_3$。$\sigma$越小，曲线越瘦高，所以第二个图象的$\sigma$要比第三个的$\sigma$要小，故$\sigma_1 = \sigma_2 ＜ \sigma_3$。]

2. 三个正态分布$X \sim N ( 0, 0. 64 )$，$Y \sim N ( 0, 1 )$，$Z \sim N ( 0, 4 )$对应的正态密度曲线如图所示，则三个随机变量$X$，$Y$，$Z$对应曲线的序号依次为 (A)

A.①②③
B.③②①
C.②③①
D.①③②

答案： 2.A[提示：由题意，得$\sigma(X)=0.8$，$\sigma(Y)=1$，$\sigma(Z)=2$，因为当$\sigma$较小时，正态曲线“瘦高”，且$\sigma(X)＜\sigma(Y)＜\sigma(Z)$，所以三个随机变量$X$，$Y$，$Z$对应曲线的序号依次为①②③。]

3. (教材改编题) 某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有$40000$名考生参加这次考试，数学成绩$X$近似服从正态分布，其正态密度函数为$f ( x ) = \frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } \mathrm { e } ^ { - \frac { ( x - 90 ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } }, x \in \mathbf { R }$且$P ( 70 \leqslant X \leqslant 110 ) = 0. 8$，则该市这次考试数学成绩超过$110$分的考生人数约为 (C)

A.$2000$
B.$3000$
C.$4000$
D.$8000$

答案： 3.C[提示：由题知均值$\mu = 90$，由正态曲线的对称性可知$P(X＞110)=0.5 - \frac{1}{2}P(70\leq X\leq110)=0.5 - 0.4 = 0.1$，所以该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为$0.1×40000 = 4000$。]

4. 甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布$N ( \mu _ { 1 }, \sigma _ { 1 } ^ { 2 } )$，$N ( \mu _ { 2 }, \sigma _ { 2 } ^ { 2 } )$，对应的正态密度曲线如图所示，则下列说法中不正确的是 (B)

(参考数据：若随机变量$X$服从正态分布$N ( \mu, \sigma ^ { 2 } )$，则$P ( \mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma ) \approx 0. 6827$)
A.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩
B.甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
C.甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近
D.若$\sigma _ { 1 } = 5$，则甲同学成绩高于$80$分的概率约为$0. 1587$

答案： 4.B[提示：由图象可知，甲的图象关于直线$x = 75$对称，乙的图象关于直线$x = 85$对称，所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分，故选项A的说法正确，B的说法错误；因为甲的图象比乙的图象更“瘦高”，所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右，故选项C的说法正确；若$\sigma_1 = 5$，则甲同学成绩高于80分的概率约为$\frac{1 - 0.6827}{2}\approx0.1587$，故选项D的说法正确。]

5. 若随机变量$X$的正态密度函数为$f _ { \mu, \sigma } ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } \mathrm { e } ^ { - \frac { ( x - \mu ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } }, x \in ( - \infty, + \infty )$ (其中$\mu \in \mathbf { R }$，$\sigma ＞ 0$为参数)，其图象如图所示，则$X$的均值为20，方差为2。
]

答案： 5.20 2[提示：由图可知该正态曲线关于直线$x = 20$对称，最大值是$\frac{1}{2\sqrt{\pi}}$，所以$\mu = 20$，由$\frac{1}{2\sqrt{\pi}\sigma}=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}$，解得$\sigma=\sqrt{2}$，所以随机变量$X$的均值是$\mu = 20$，方差是$\sigma^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$。]

6. 已知随机变量$X$服从正态分布$N ( 3, \sigma ^ { 2 } )$，且$P ( X ＜ 5 ) = 0. 8$，则$P ( X ＜ 3 ) = $0.5，$P ( 1 ＜ X ＜ 3 ) = $0.3。

答案： 6.0.5 0.3[提示：由正态曲线的对称性可知$P(X＜3)=P(X＞3)=0.5$，$P(X＞1)=P(X＜5)=0.8$，所以$P(X\leq1)=1 - P(X＞1)=0.2$，所以$P(1＜X＜3)=P(X＜3)-P(X\leq1)=0.5 - 0.2 = 0.3$。]

7. 若随机变量$\xi \sim N ( 2, \sigma ^ { 2 } ) ( \sigma ＞ 0 )$，$P ( \xi \leqslant 3 ) = 0. 9$，则$P ( 1 \leqslant \xi ＜ 2 ) = $0.4。

答案： 7.0.4[提示：由正态分布曲线的对称性可知$P(1\leq\xi＜2)=\frac{1 - 2[1 - P(\xi\leq3)]}{2}=0.4$。]

8. (教材改编题) 某市$20000$名学生参加一次数学测试(满分$150$分)，学生的测试成绩$X$近似服从正态分布$N ( 100, 10 ^ { 2 } )$，则测试成绩在$[ 90, 100 ]$内的学生人数约为6827人. (参考数据：若$X \sim N ( \mu, \sigma ^ { 2 } )$，则$P ( \mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma ) \approx 0. 6827$，$P ( \mu - 2 \sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2 \sigma ) \approx 0. 9545$)

答案： 8.6827[提示：因为$P(90\leq X\leq100)=P(\mu - \sigma\leq X\leq\mu)=\frac{1}{2}P(\mu - \sigma\leq X\leq\mu + \sigma)\approx\frac{1}{2}×0.6827 = 0.34135$，所以测试成绩在$[90,100]$内的学生人数约为$20000×0.34135 = 6827$。]

9. 为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试. 若高三全体考生的数学成绩$X$近似服从正态分布$N ( 100, 17. 5 ^ { 2 } )$，已知成绩在$117. 5$分以上(含$117. 5$分)的学生有$80$人，则此次参加考试的学生成绩不超过$82. 5$分的概率为0.16；如果成绩大于$135$分的为特别优秀，那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有10人. (参考数据：若$X \sim N ( \mu, \sigma ^ { 2 } )$，则$P ( \mu - \sigma ＜ X ＜ \mu + \sigma ) \approx 0. 68$，$P ( \mu - 2 \sigma ＜ X ＜ \mu + 2 \sigma ) \approx 0. 96$)

答案： 9.0.16 10[提示：由题知$P(X\leq82.5)=P(X\leq\mu - \sigma)=\frac{1 - P(\mu - \sigma＜X＜\mu + \sigma)}{2}\approx0.16$，$P(X\geq117.5)=P(X\geq\mu + \sigma)=\frac{1 - P(\mu - \sigma＜X＜\mu + \sigma)}{2}\approx0.16$，又成绩在117.5分以上（含117.5分）的学生有80人，所以高三考生总人数为$80÷0.16 = 500$（人）。因为$P(X＞135)=P(x＞\mu + 2\sigma)=\frac{1 - P(\mu - 2\sigma＜X＜\mu + 2\sigma)}{2}\approx0.02$，所以本次考试数学成绩特别优秀的大约有$500×0.02 = 10$（人）。]