《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

10. 某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为 0.5，知道正确答案时，答对的概率为 100%，而不知道正确答案时猜对的概率为 0.25，那么他答对题目的概率为(B)

A.0.75
B.0.625
C.0.5
D.0.125

答案： 10.B[提示：用$A$表示事件“考生答对了”，$B$表示“考生知道正确答案”，则$\overline{B}$表示“考生不知道正确答案”，则$P(B)=0.5$，$P(\overline{B})=0.5$，$P(A|B)=100\%$，$P(A|\overline{B})=0.25$，则$P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\overline{B})P(\overline{B})=1×0.5+0.25×0.5=0.625$.]

11. 袋中有 $ a $ 个白球和 $ b $ 个黑球，不放回地摸球两次，则第二次摸到白球的概率为$\frac{a}{a+b}$.

答案： 11.$\frac{a}{a+b}$[提示：分别记$A,B$为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式得$P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})=\frac{a}{a+b}$，$\frac{a-1}{a+b-1}+\frac{b}{a+b}·\frac{a}{a+b-1}=\frac{a}{a+b}$.]

12. 某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下数据. 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.

(1)在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率；
(2)在仓库中随机取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自甲工厂的概率.

答案： 12.解：
(1)设事件$A$表示“取到的是一只次品”，事件$B_{i}(i=1,2,3)$表示“所取到的产品是由第$i$家工厂提供的”，则$P(B_{1})=0.15$，$P(B_{2})=0.80$，$P(B_{3})=0.05$，$P(A|B_{1})=0.02$，$P(A|B_{2})=0.01$，$P(A|B_{3})=0.03$，由全概率公式可得$P(A)=P(A|B_{1})P(B_{1})+P(A|B_{2})P(B_{2})+P(A|B_{3})P(B_{3})=0.02×0.15+0.01×0.80+0.03×0.05=0.0125$，即在仓库中随机取一只元件，则它是次品的概率为$0.0125$。
(2)由贝叶斯公式得$P(B_{1}|A)=\frac{P(A|B_{1})P(B_{1})}{P(A)}=\frac{0.02×0.15}{0.0125}=0.24$，即在取到的是次品的条件下，此次品出自甲工厂的概率是$0.24$。

1. 【题型一】任意向 $ (0,1) $ 区间上投掷一个点，用 $ x $ 表示该点的坐标，设事件 $ A=\{x|0＜x＜0.5\} $，事件 $ B=\{x|0.25＜x＜1\} $，则 $ P(B|A) $ 等于(C)

A.0.25
B.0.125
C.0.5
D.0.625

答案： 1.C[提示：由题意可得$AB=\{x|0.25＜x＜0.5\}$，所以$P(AB)=0.5-0.25=0.25$，又因为$P(A)=0.5$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=0.5$.]

2. 【题型一】哈市某高中二年一班有 50 名学生，其中男生 30 人，通过问卷调查得知，30%的男生和 10%的女生曾经玩过王者荣耀手机游戏，现随机选取一名学生，此学生恰好玩过王者荣耀，则该学生是男生的概率为(A)

A.$ \frac{9}{11} $
B.$ \frac{2}{11} $
C.$ \frac{3}{4} $
D.$ \frac{1}{4} $

答案： 2.A[提示：由题可知曾经玩过王者荣耀手机游戏的男生有$9$人，曾经玩过王者荣耀手机游戏的女生有$2$人，设事件$A$为选到的学生玩过王者荣耀，事件$B$为选到的学生为男生，则$P(A)=\frac{9+2}{50}=\frac{11}{50}$，$P(AB)=\frac{9}{50}$，$\therefore P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{9}{50}}{\frac{11}{50}}=\frac{9}{11}$.]

3. 【题型一】针对人教版小学数学教材插图事件及多个出版社的毒教材事件，让众多的爱国同胞们极为愤慨，大家都在思考为什么作为国家科学知识的前沿阵地，引领启蒙教育和是非道德观的出版社和众多编辑，会出现人数这么多，范围这么广的误导、毒害祖国下一代的事情，同时也让大家提高了警惕. 为此，某地开展了形式多样的爱国主义教育，主要有“开展爱国主义主题班会”“观看爱国主义视频”“进行爱国主义宣讲”“参观军事纪念馆”“爱国主义知识竞赛”5 种活动. 某校从中任选 3 个作为本校的爱国主义教育题材，已知在选出“开展爱国主义主题班会”活动的前提下，选出“观看爱国主义视频”活动的概率为(B)

A.$ \frac{1}{5} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ \frac{2}{5} $
D.$ \frac{3}{5} $

答案： 3.B[提示：由题意，$5$种活动，从中任选$3$个，选出“开展爱国主义主题班会”活动的概率为$\frac{C_{3}^{1}C_{4}^{2}}{C_{5}^{3}}=\frac{3}{5}$，选出“开展爱国主义主题班会”活动且选出“观看爱国主义视频”活动的概率为$\frac{C_{2}^{2}C_{3}^{1}}{C_{5}^{3}}=\frac{3}{10}$，故在选出“开展爱国主义主题班会”活动的前提下，选出“观看爱国主义视频”活动的概率为$\frac{\frac{3}{10}}{\frac{3}{5}}=\frac{1}{2}$.]

4. 【题型三】(2025·黑龙江哈尔滨九中高三模拟) [多选]英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件 $ A,B $ 存在如下关系：$ P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)} $. 现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为 8%，乙车床加工的次品率为 6%，丙车床加工的次品率为 5%，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙 3 台车床加工的零件数分别占总数的 30%，40%，30%，设事件 $ A_1,A_2,A_3 $ 分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件 $ B $ 表示任取一个零件为次品，则下列说法正确的是(ACD)

A.$ P(A_2B)=0.024 $
B.$ P(B|A_3)=0.015 $
C.$ P(B)=0.063 $
D.$ P(A_1|B)=\frac{8}{21} $

答案： 4.ACD[提示：对于$A$，$P(A_{2}B)=P(B|A_{2})P(A_{2})=0.06×0.40=0.024$，故$A$正确；对于$B$，因为事件$B|A_{3}$可理解为：在确定产品是丙车床生产的条件下得到该产品为次品，所以$P(B|A_{3})=5\%$，故$B$错误；对于$C$，$P(B)=P(BA_{1})+P(BA_{2})+P(BA_{3})=P(B|A_{1})P(A_{1})+P(B|A_{2})P(A_{2})+P(B|A_{3})P(A_{3})=0.08×0.30+0.06×0.40+0.05×0.30=0.024+0.024+0.015=0.063$，故$C$正确；对于$D$，$P(A_{1}|B)=\frac{P(A_{1})P(B|A_{1})}{P(B)}=\frac{0.30×0.08}{0.063}=\frac{8}{21}$，故$D$正确.]