《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

1. 若 $ P(AB)=\frac{3}{10},P(B|A)=\frac{1}{2} $，则 $ P(A) $ 等于(C)

A.$ \frac{1}{5} $
B.$ \frac{2}{5} $
C.$ \frac{3}{5} $
D.$ \frac{4}{5} $

答案： 1.C[提示：依题意得$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1}{2}$，所以$P(AB)=\frac{1}{2}P(A)=\frac{3}{10}$，解得$P(A)=\frac{3}{5}$.]

2. 已知事件 $ A,B $，且 $ P(A)=\frac{1}{3},P(B|A)=\frac{1}{5} $，$ P(B|\overline{A})=\frac{2}{5} $，则 $ P(B) $ 等于(B)

A.$ \frac{3}{5} $
B.$ \frac{1}{3} $
C.$ \frac{1}{5} $
D.$ \frac{1}{15} $

答案： 2.B[提示：由$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1}{5}$，得$P(AB)=P(A)P(B|A)=\frac{1}{15}$，易知$P(\overline{A})=1-P(A)=\frac{2}{3}$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(B)-P(AB)}{\frac{2}{3}}$，得$P(B)-P(AB)=\frac{4}{15}$，所以$P(B)=P(AB)+\frac{4}{15}=\frac{1}{15}+\frac{4}{15}=\frac{1}{3}$.]

3. (2025·吉林省吉林市一中月考) [多选]已知随机事件 $ A,B $ 满足 $ P(A)=\frac{1}{2},P(B)=\frac{1}{4},P(B|A)=P(B) $，则(AD)

A.事件 $ A $ 与事件 $ B $ 相互独立
B.$ P(\overline{A}B)=\frac{3}{4} $
C.$ P(A|B)=\frac{2}{3} $
D.$ P(A\cup B)=\frac{5}{8} $

答案： 3.AD[提示：由$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=P(B)$，得$P(AB)=P(A)· P(B)=\frac{1}{2}×\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$，即事件$A$与事件$B$相互独立，故$A$正确;$P(AB)=\frac{1}{8}$，$P(A)-P(AB)=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$，故$B$错误;$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{8}}{1}=\frac{1}{2}$，故$C$错误;$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$，故$D$正确.]

4. (教材改编题)从一副扑克 52 张牌(去掉两张王牌后)中任取 1 张，则在抽到梅花的条件下，抽到的是梅花 5 的概率为(A)

A.$ \frac{1}{13} $
B.$ \frac{1}{4} $
C.$ \frac{1}{52} $
D.$ \frac{1}{51} $

答案： 4.A[提示：从$52$张牌（去掉两张王牌）中任取$1$张，设$A=$“抽到梅花”，$B=$“抽到梅花$5$”，则$P(A)=\frac{13}{52}$，$P(AB)=\frac{1}{52}$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{52}}{\frac{13}{52}}=\frac{1}{13}$.]

5. 某校要从学生文艺部 7 名成员(4 男 3 女)中挑选 2 人参加学校举办的文艺汇演活动.
(1)求男生甲被选中的概率；
(2)在已知男生甲被选中的条件下，求女生乙被选中的概率；
(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.

答案： 5.解：记“男生甲被选中”为事件$A$，“女生乙被选中”为事件$B$，“挑选的$2$人一男一女”为事件$C$。
(1)从$7$名成员中挑选$2$名成员，共有$C_{7}^{2}=21$种情况，事件$A$所包含的基本事件数为$C_{6}^{1}$，故$P(A)=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}$。
(2)由
(1)知，$P(AB)=\frac{1}{21}$，且$P(A)=\frac{2}{7}$，故$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{21}}{\frac{2}{7}}=\frac{1}{6}$。
(3)事件$C$所包含的基本事件数为$C_{4}^{1}× C_{3}^{1}=12$，由
(1)知，$P(C)=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$，又$P(BC)=\frac{C_{4}^{1}}{C_{7}^{2}}=\frac{4}{21}$，$\therefore P(B|C)=\frac{P(BC)}{P(C)}=\frac{\frac{4}{21}}{\frac{4}{7}}=\frac{1}{3}$。

6. 一个家庭有两个小孩，假设男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是(D)

A.$ \frac{1}{4} $
B.$ \frac{2}{3} $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ \frac{1}{3} $

答案： 6.D[提示：一个家庭的两个小孩只有$4$种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，基本事件总数$n=3$，这时另一个也是女孩包含的基本事件个数$m=1$，$\therefore$已知这个家庭有一个女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率$P=\frac{m}{n}=\frac{1}{3}$.]

7. (2025·重庆七校联盟高二下期末)小明与小红两人组队同时参加了闯关游戏，两人各自独立闯关互不影响，已知小明能闯关成功的概率为 $ \frac{3}{5} $，小红能闯关成功的概率为 $ \frac{2}{3} $，则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为(B)

A.$ \frac{7}{13} $
B.$ \frac{9}{13} $
C.$ \frac{9}{15} $
D.$ \frac{8}{15} $

答案： 7.B[提示：由题意可知小明能闯关成功的概率为$\frac{3}{5}$，此游戏被闯关成功的概率为$1-(1-\frac{3}{5})×(1-\frac{2}{3})=\frac{13}{15}$，故在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为$P=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{13}{15}}=\frac{9}{13}$.]

8. (2025·广东揭阳一中高二下月考)王老师对所带班级学生在三模考试中的语文成绩与英语成绩进行统计，得到如下信息：随机抽取本班的一名同学，该同学语文成绩优秀的概率为 $ \frac{1}{6} $，英语成绩优秀的概率为 $ \frac{1}{7} $，语文成绩和英语成绩均未达到优秀的概率为 $ \frac{3}{4} $，则该班学生在语文成绩优秀的条件下，英语成绩也优秀的概率为(C)

A.$ \frac{5}{16} $
B.$ \frac{1}{3} $
C.$ \frac{5}{14} $
D.$ \frac{1}{14} $

答案： 8.C[提示：设事件$A$为“该班学生语文成绩优秀”，事件$B$为“该班学生英语成绩优秀”，则$P(A)=\frac{1}{6}$，$P(B)=\frac{1}{7}$，$P(\overline{B})=\frac{3}{4}$，因为$P(A\cup B)=1-P(\overline{A}\overline{B})=\frac{1}{4}=P(A)+P(B)-P(AB)$，所以$P(AB)=\frac{5}{84}$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{5}{84}}{\frac{1}{6}}=\frac{5}{14}$.]

9. 小明在暑假参加了一项评价测试，在这次测试中，要从 10 道题中随机抽出 5 道题，若考生至少能答对其中 3 道题即可通过，至少能答对其中 4 道题就获得优秀. 已知小明能答对 10 道题中的 5 道题，并且知道他在这次测试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率.

答案： 9.解：记事件$A$为“小明$5$道题全答对”，事件$B$为“小明答对了其中$4$题，另$1$题答错”，事件$C$为“小明答对了其中$3$题，另$2$题答错”，事件$D$为“小明在这次测试中通过”，事件$E$为“小明在这次测试中获得优秀”，则$A,B,C$两两互斥，且$D=A\cup B\cup C$，$E=A\cup B\cup C$，可知$P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=\frac{C_{5}^{5}}{C_{10}^{5}}+\frac{C_{5}^{4}C_{5}^{1}}{C_{10}^{5}}+\frac{C_{5}^{3}C_{5}^{2}}{C_{10}^{5}}=\frac{126}{252}=\frac{1}{2}$，$P(AD)=P(A)=\frac{C_{5}^{5}}{C_{10}^{5}}=\frac{1}{252}$，$P(BD)=P(B)=\frac{C_{5}^{4}C_{5}^{1}}{C_{10}^{5}}=\frac{25}{252}$，则$P(E|D)=P(A\cup B|D)=\frac{P(AD)+P(BD)}{P(D)}=\frac{\frac{1}{252}+\frac{25}{252}}{\frac{1}{2}}=\frac{13}{63}$，故小明在这次测试已经通过的条件下，获得优秀成绩的概率为$\frac{13}{63}$。