《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

9.【题型二、三】(2025·重庆巴蜀中学高二下期末)2024年6月25日14时07分,嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域,完成了世界首次月球背面采样返回任务.某校为了激发同学们对探月工程的关注,该校组织了探月知识比赛,比赛分为两个阶段,第一阶段为基础知识问答,每位选手都需要回答3个问题,答对其中至少2个问题,进入第二阶段,否则被淘汰;第二阶段分为高分组和低分组,第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组,再回答4个问题,每答对1个问题得20分,答错不得分;第一阶段仅答对2个问题的选手进入低分组,再回答4个问题,每答对1个问题得10分,答错不得分.已知甲选手第一阶段的每个问题答对的概率都是\$\frac{2}{3}\$,第二阶段,若甲选手进入高分组,每个问题答对的概率都是\$\frac{1}{4}\$,若甲选手进入低分组,每个问题答对的概率都是\$\frac{1}{2}\$.
(1)求甲选手第一阶段被淘汰的概率;
(2)求甲选手在该次比赛中得分为20分的概率;
(3)已知该次比赛甲选手进入了低分组,记甲选手在该次比赛中得分为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

答案： 9.解：
(1)甲选手第一阶段被淘汰，即甲回答的3个问题中，答
对了0个或1个，故其概率为$\mathrm{C}_{3}^{0}×(\frac{1}{3})^{3}+C_{3}^{1}×(\frac{1}{3})^{2}×(\frac{1}{3})^{2}=$
$\frac{7}{27}$.
(2)甲选手在该次比赛得分为20，包括两种情况：
①进入高分组，答对1个问题；②进入低分组，答对2个问
题.故其概率为$(\frac{2}{3})^{3}×\mathrm{C}_{3}^{1}×(\frac{1}{4})×(\frac{3}{4})^{3}+\mathrm{C}_{3}^{2}(\frac{2}{3})^{2}×(\frac{1}{3})×$
$\mathrm{C}_{2}^{2}×(\frac{1}{2})^{2}×(\frac{1}{2})=\frac{7}{24}$.
(3)依题意，甲选手在该次比赛中
得分X的可能取值为：0,10,20,30,40，则$P(X=0)=$
$\mathrm{C}_{4}^{0}×(\frac{1}{2})=\frac{1}{16}$，$P(X=10)=\mathrm{C}_{4}^{1}×(\frac{1}{2})×(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$，$P(X=$
20)$=\mathrm{C}_{4}^{2}×(\frac{1}{2})^{2}×(\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{8}$，$P(X=30)=\mathrm{C}_{4}^{3}×(\frac{1}{2})^{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，$P(X=40)=\mathrm{C}_{4}^{4}×(\frac{1}{2})^{4}=\frac{1}{16}$，所以随机变量X的分布
列为：
$X$ 0 10 20 30 40
$P$ $\frac{1}{16}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{16}$
故随机变量X的数学期望为$E(X)=0×\frac{1}{16}+10×\frac{1}{4}+20×\frac{3}{8}+$
$30×\frac{1}{4}+40×\frac{1}{16}=20$.

1. 某气象台预报每天天气的准确率为0.8,则在未来3天中,至少有2天预报准确的概率是0.896.

答案： 1.0.896[提示：“至少有2天”包括“恰有2天”和“恰有3天”
两种情况，其概率为$\mathrm{C}_{3}^{2}×0.8^{2}×0.2+\mathrm{C}_{3}^{3}×0.8^{3}=0.896$.所
以至少有2天预报准确的概率为0.896.]

2. 大学生学理财成为一种新的趋势,已知年初小赵买进某个理财产品,设该产品每年收益率为X,根据历史数据可知,P(X＞0)=2P(X≤0),则小赵在大学期间投资该产品4年,至少有2年收益为正的概率为$\frac{8}{9}$.

答案： 2.$\frac{8}{9}$[提示：由题可知$P(X＞0)+P(X\leq0)=1$，$P(X＞0)=2P(X$
$\leq0)$，所以$3P(X\leq0)=1$，所以$P(X\leq0)=\frac{1}{3}$，$P(X＞0)=$
$\frac{2}{3}$.小赵在大学期间投资该产品4年，至少有2年收益为正
的概率为$\mathrm{C}_{4}^{2}×(\frac{2}{3})^{2}×(\frac{1}{3})^{2}+\mathrm{C}_{4}^{3}×(\frac{2}{3})^{3}×\frac{1}{3}+\mathrm{C}_{4}^{4}×(\frac{2}{3})^{4}=$
$\frac{24}{81}+\frac{32}{81}+\frac{16}{81}=\frac{72}{81}=\frac{8}{9}$.]