《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

5. 【题型三】苏超联赛的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析. 根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为 0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为 0.4，0.2，0.5，0.2. 当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为(D)

A.0.3
B.0.32
C.0.68
D.0.7

答案： 5.D[提示：设乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球为事件$A$，则利用全概率公式可得$P(A)=0.2×(1-0.4)+0.5×(1-0.2)+0.2×(1-0.5)+0.1×(1-0.2)=0.7$.]

6. 【题型一】质数又称素数，一个大于 1 的自然数，除了 1 和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差 2 的两个素数叫作“孪生素数”. 如：3 和 5，5 和 7，… 在 1900 年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了 23 个问题，其中第 8 个问题就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数. 我国著名数学家张益唐 2013 年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式. 那么，如果我们在不超过 30 的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件 $ A $：这两个数都是素数，事件 $ B $：这两个数不是孪生素数，则 $ P(B|A) $ 等于(D)

A.$ \frac{11}{15} $
B.$ \frac{37}{45} $
C.$ \frac{13}{15} $
D.$ \frac{41}{45} $

答案： 6.D[提示：不超过$30$的自然数有$31$个，其中素数有$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$共$10$个，孪生素数有$3$和$5$，$5$和$7$，$11$和$13$，$17$和$19$，共$4$组，所以$P(A)=\frac{C_{10}^{2}}{C_{31}^{2}}=\frac{45}{465}=\frac{9}{93}$，$P(AB)=\frac{C_{10}^{2}-4}{C_{31}^{2}}=\frac{41}{465}$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{41}{465}}{\frac{9}{93}}=\frac{41}{45}$.]

7. 【题型三】(2025·吉林五校高三联考)长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景. 某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是 $ \frac{2}{3} $，夏季来的概率是 $ \frac{1}{3} $. 若冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光；若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕. 无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为(C)

A.$ \frac{11}{15} $
B.$ \frac{16}{45} $
C.$ \frac{17}{45} $
D.$ \frac{1}{3} $

答案： 7.C[提示：设事件$A_{1}=$“冬季去吉林旅游”，事件$A_{2}=$“夏季去吉林旅游”，事件$B=$“去了一眼望三国”，则$P(A_{1})=\frac{2}{3}$，$P(A_{2})=\frac{1}{3}$，在冬季去了“一眼望三国”的概率$P(B|A_{1})=\frac{C_{4}^{1}C_{1}^{1}}{C_{6}^{2}}=\frac{2}{5}$，在夏季去了“一眼望三国”的概率$P(B|A_{2})=\frac{C_{5}^{1}C_{1}^{1}}{C_{6}^{2}}=\frac{1}{3}$，所以去了“一眼望三国”的概率$P(B)=P(A_{1})· P(B|A_{1})+P(A_{2})P(B|A_{2})=\frac{2}{3}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{17}{45}$.]

8. 【题型一】第十五届中国国际航空航天博览会于 2024 年 11 月 12 日至 17 日在珠海举行. 本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量. 航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观展区、无人系统演示区. 甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有 1 人，每人只参观一个观展区. 在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为(A)

A.$ \frac{5}{6} $
B.$ \frac{3}{4} $
C.$ \frac{2}{3} $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： 8.A[提示：记事件$A$：甲参观珠海国际航展中心，事件$B$：甲与乙不到同一观展区，则$P(A)=\frac{1}{3}$，因为每个观展区至少有$1$人，每人只参观一个观展区，所以先将$4$个人分为$3$组，再将这三组分配给三个展区，基本事件的总数为$n(\Omega)=C_{4}^{2}A_{3}^{3}=36$，如果事件$A,B$同时发生，若参观珠海国际航展中心有$2$人，则另外一人为丙或丁，此时不同的参观情况种数为$2A_{2}^{2}=4$，若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区，此时不同的参观情况种数为$C_{3}^{2}A_{2}^{2}=6$，故$P(AB)=\frac{n(AB)}{n(\Omega)}=\frac{4+6}{36}=\frac{5}{18}$，由条件概率公式可得$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{5}{18}}{\frac{1}{3}}=\frac{5}{6}$.]

9. 【题型一、二】(2025·黑龙江哈尔滨六中高三模拟)第 9 届亚冬会在冰城哈尔滨召开，为了办好这一届盛会，组委会决定进行赛会志愿者招募. 现有 4 名志愿者，通过培训后，拟安排在冰壶、短道速滑、高山滑雪三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到冰壶项目的条件下，乙被安排到短道速滑项目的概率为(D)

A.$ \frac{1}{12} $
B.$ \frac{1}{6} $
C.$ \frac{1}{3} $
D.$ \frac{5}{12} $

答案： 9.D[提示：记“甲被安排到冰壶项目”为事件$A$，记“乙被安排到短道速滑项目”为事件$B$，甲被安排到冰壶项目分为两类，甲一人被安排到冰壶项目的种数为$C_{3}^{1}· A_{2}^{2}$，两人被安排到冰壶项目的种数为$C_{3}^{2}· A_{2}^{2}$，所以$P(A)=\frac{C_{3}^{1}· A_{2}^{2}+C_{3}^{2}· A_{2}^{2}}{C_{2}^{2}· A_{3}^{3}}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$，甲被安排到冰壶项目且乙被安排到短道速滑项目的种数为$1+C_{2}^{1}· C_{1}^{1}=5$，所以$P(AB)=\frac{5}{36}$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{5}{36}}{\frac{1}{3}}=\frac{5}{12}$.]

10. 【题型一】(2025·黑龙江牡丹江一中高二下月考)2025 年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众. 现在编排一个动作，在平面直角坐标系中，机器人从原点 $ O $ 出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位长度，共移动 3 次，则该机器人在有且仅有一次经过(含到达)点 $ M(-1,0) $ 位置的条件下，水平方向移动 2 次的概率为$\frac{8}{17}$.

答案： 10.$\frac{8}{17}$[提示：设事件$A=$“有且仅有一次经过点$M(-1,0)$”，事件$B=$“水平方向移动$2$次”，按到点$M(-1,0)$位置需要$1$步、$3$步分类讨论。记$L=$向左，$R=$向右，$U=$向上，$D=$向下，①若$1$步到位为事件$A_{1}$，则满足要求的是$LU(L$或$U$或$R)$，$LL(L$或$U$或$D)$，$LD(L$或$R$或$D)$，$LR(U$或$D$或$R)$，所以$P(A_{1})=4×3×(\frac{1}{4})^{3}=\frac{12}{64}=\frac{3}{16}$；②若$3$步到位为事件$A_{2}$，则满足要求的是$ULD$，$DLU$，$RLL$，$UDL$，$DUL$，所以$P(A_{2})=5×(\frac{1}{4})^{3}=\frac{5}{64}$，所以$P(A)=P(A_{1})+P(A_{2})=\frac{17}{64}$，满足$AB$的情况有：$LU(L$或$R)$，$LD(L$或$R)$，$LL(U$或$D)$，$LR(U$或$D$或$R)$，所以$P(AB)=\frac{8}{64}=\frac{1}{8}$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{8}{64}}{\frac{17}{64}}=\frac{8}{17}$.]

11. 【题型三】葫芦山庄襟渤海之辽阔，仰天角之雄奇，勘葫芦之蕴涵，显人文之魅力，是渤海湾著名的人文景区，是葫芦岛市“葫芦文化与关东民俗文化”代表地和中小学综合实践教育基地. 山庄中葫芦品种分为亚腰、瓢、长柄锤、长筒、异型、花皮葫芦等系列. 其中亚腰葫芦具有天然迷彩花纹，果实形状不固定，观赏性强，每株亚腰葫芦可结出果实 20~80 个. 2025 年初葫芦山庄播种用的一等亚腰葫芦种子中混有 2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出 50 颗以上果实的概率分别为 0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子生长出葫芦秧结出 50 颗以上果实的概率为0.4825.

答案： 11.$0.4825$[提示：设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是$A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$，则$\Omega=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}$，且$A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$两两互斥，设$B=$从这批种子中任选一颗，所长出的葫芦秧结出$50$颗以上果实，则$P(B)=P(A_{1})P(B|A_{1})+P(A_{2})P(B|A_{2})+P(A_{3})P(B|A_{3})+P(A_{4})P(B|A_{4})=95.5\%×0.5+2\%×0.15+1.5\%×0.1+1\%×0.05=0.4825$.]