《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

12. 【题型二、三】若$X \sim N ( \mu, \sigma ^ { 2 } )$，从$X$的取值中随机抽取$k ( k \in \mathbf { N } ^ { * }, k \geqslant 2 )$个数据，记这$k$个数据的平均值为$Y$，则随机变量$Y \sim N \left( \mu, \frac { \sigma ^ { 2 } } { k } \right)$，下面问题的求解中可以利用这一结论.
根据以往的考试数据，某学校高三年级数学模考成绩$X \sim N ( 100, 5 ^ { 2 } )$，设从$X$的取值中随机抽取$25$个数据的平均值为随机变量$Y$. 现在从$X$的取值中随机抽取$25$个数据从小到大排列为$x _ { 1 }, x _ { 2 }, x _ { 3 }, ·s, x _ { 25 }$，$x _ { 1 } + x _ { 2 } + ·s + x _ { 10 } = 901. 5$，$x _ { 16 } + x _ { 17 } + ·s + x _ { 25 } = 1048$，其余$5$个数分别为$97$，$97$，$98$，$98$，$98$.
(1) 求$x _ { 1 }, x _ { 2 }, x _ { 3 }, ·s, x _ { 25 }$的中位数及平均数；
(2) 求$P ( 98 \leqslant Y \leqslant 103 )$.
(参考数据：若随机变量$\eta$服从正态分布$N ( \mu, \sigma ^ { 2 } )$，则$P ( \mu - \sigma \leqslant \eta \leqslant \mu + \sigma ) \approx 0. 6827$，$P ( \mu - 2 \sigma \leqslant \eta \leqslant \mu + 2 \sigma ) \approx 0. 9545$，$P ( \mu - 3 \sigma \leqslant \eta \leqslant \mu + 3 \sigma ) \approx 0. 9973$)

答案： 12.解：
(1)由题意得有10个数不超过97，有10个数不低于98，中间的5个数为97，97，98，98，98，所以中位数为中间的5个数的中位数98。进一步由已知得$x_1,x_2,x_3,·s,x_{25}$的平均数为$\frac{901.5 + 97×2 + 98×3 + 1048}{25}=97.5$。故中位数为98，平均数为97.5。
(2)由题意知$Y\sim N(100,\frac{5^2}{25})$，即$Y\sim N(100,1)$，因为$P(98\leq Y\leq102)\approx0.9545$，$P(97\leq Y\leq103)\approx0.9973$，所以$P(98\leq Y\leq103)=\frac{1}{2}[P(98\leq Y\leq102)+P(97\leq Y\leq103)]\approx\frac{1}{2}(0.9545 + 0.9973)=0.9759$。

1. 已知随机变量$X$服从正态分布$N ( \mu, \sigma ^ { 2 } )$，若$P ( X ＞ - 1 ) + P ( X \geqslant 5 ) = 1$，则$\mu = $2。

答案： 1.2[提示：$\because X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$P(X ＞ - 1)+P(X\geq5)=1$，又$P(X ＞ - 1)+P(X\leq - 1)=1$，$\therefore P(X\geq5)=P(X\leq - 1)$，$\therefore\mu=\frac{5 + (-1)}{2}=2$。]

2. 已知随机变量$X$服从正态分布$N ( 2, \sigma ^ { 2 } )$，且$P ( 2 ＜ X \leqslant 3 ) = 0. 36$，求$P ( X ＞ 3 )$的值.

答案： 2.解：因为$X\sim N(2,\sigma^2)$，所以$P(X＜2)=P(X＞2)=0.5$，因此$P(X＞3)=P(X＞2)-P(2＜X\leq3)=0.5 - 0.36 = 0.14$。