《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

4. (2025·河北石家庄二中月考)甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球,乙口袋中装有 3 个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复 $ n $ 次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为 $ X_{n} $,恰有 2 个黑球的概率为 $ p_{n} $,恰有 1 个黑球的概率为 $ q_{n} $.
(1)求 $ p_{1},q_{1} $ 和 $ p_{2},q_{2} $;
(2)求证:$\{ 2p_{n}+q_{n}-1\}$ 是等比数列;
(3)求 $ X_{n} $ 的数学期望 $ E(X_{n}) $(用 $ n $ 表示).

答案：
(1)解：依题意，$P_1 = \frac{1 × 3}{3 × 3} = \frac{1}{3}$,$q_1 = \frac{2 × 3}{3 × 3} = \frac{2}{3}$,$P_2 = P_1 × \frac{1 × 3}{3 × 3} + q_1 × \frac{1 × 2}{3 × 3} = \frac{1}{3} × \frac{1}{3} + \frac{2}{3} × \frac{2}{9} = \frac{7}{27}$,$q_2 = P_1 × \frac{2 × 3}{3 × 3} + q_1 × \frac{1 × 1 + 2 × 2}{3 × 3} + 0 = \frac{1}{3} × \frac{2}{3} + \frac{2}{3} × \frac{5}{9} = \frac{16}{27}$.
(2)证明：设$A_n$表示$n$次取球后甲
口袋有2个黑球，$B_n$表示$n$次取球后甲口袋有1个黑球，$C$
表示一次操作甲、乙都取的是白球，$D$表示一次操作甲取的
是白球同时乙取的是黑球，$E$表示一次操作甲取的是黑球
同时乙取的是白球，$F$表示一次操作甲、乙都取黑球，当$n \geq2$时，$A_n = A_{n - 1}C + B_{n - 1}D$,$B_n = A_{n - 1}E + B_{n - 1}C + C B_{n - 1} + F(A_{n - 1} + B_{n - 1})D$，
所以$p_n = P(A_n) = P(C \mid A_{n - 1})P(A_{n - 1}) + P(D \mid B_{n - 1}) ·P(B_{n - 1})$,$q_n = P(B_n) = P(E \mid A_{n - 1})P(A_{n - 1}) + P(C \mid B_{n - 1}) ·P(B_{n - 1}) + P(F \mid B_{n - 1})P(B_{n - 1}) + P(D \mid A_{n - 1} + B_{n - 1})P(A_{n - 1} + B_{n - 1})$，
$p_n = \frac{1 × 3}{3 × 3} + q_{n - 1} × \frac{1 × 2}{3 × 3} = \frac{1}{3}p_{n - 1} + \frac{2}{9}q_{n - 1}$,$q_n = \frac{2 × 3}{3 × 3} + q_{n - 1} ×\frac{1 × 1 + 2 × 2}{3 × 3} = \frac{2}{3}p_{n - 1} + \frac{5}{9}q_{n - 1} + \frac{1}{3}$，所以$2p_n + q_n - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}p_{n - 1} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3}p_{n - 1} + \frac{5}{9}q_{n - 1} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}(2p_{n - 1} + q_{n - 1} - 1)$，
即$2p_n + q_n - 1 = \frac{1}{3}(2p_{n - 1} + q_{n - 1} - 1)$，所以$\{2p_n + q_n - 1\}$是以$\frac{1}{3}$为首项、$\frac{1}{3}$为公比
的等比数列.
(3)解：依题意，$X_n$的分布列为：
$X_n$ 0 1 2
$P$ $1 - p_n - q_n$ $q_n$ $p_n$
故期望$E(X_n) = 2p_n + q_n$，由
(2)得$2p_n + q_n - 1 = (2p_1 + q_1 - 1) ·\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{3^n}$，所以$E(X_n) = 2p_n + q_n = 1 + \frac{1}{3^{n - 1}}$.

5. (2025·辽宁沈阳二中月考)现有一个质地均匀的骰子,按照下述规则从左到右依次记录字符:抛掷骰子,点数为 1,2,3 时,记录字符 $ AA $;点数为 4 时记录字符 $ B $,点数为 5 时记录字符 $ C $,点数为 6 时记录字符 $ D $.继续投掷骰子,按照相同的规则向右记录 $ AA,B,C,D $ 的字符.例如抛掷 5 次骰子得到的点数依次是 5,6,2,3,4,则记录的字符为 $ CDAAAAAB $,共 7 个字符,其中从左向右第 4 个字符为 $ A $,第 7 个字符为 $ B $.
(1)抛掷 3 次骰子,并记录字符,记字符中 $ A $ 的个数为 $ X $,求 $ E(X) $.
(2)抛掷 $ n $ 次骰子 ($ n\in \mathbf{N}^{*} $),并记录字符.记第 $ n $ 个字符为 $ A $ 的概率为 $ p_{n} $.
①求证:$\{ p_{n + 1}+\frac {1}{2}p_{n}\}$ 是常数列;
②求 $\{ p_{n}\}$ 的前 $ n $ 项和.

答案：
(1)解：由题意知$X$的所有可能取值为0,2,4,6，所以$P(X =0) = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$,$P(X = 2) = C_3^1 × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$,$P(X =4) = C_3^2 × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$,$P(X = 6) = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$，故
$E(X) = 0 × \frac{1}{8} + 2 × \frac{3}{8} + 4 × \frac{3}{8} + 6 × \frac{1}{8} = 3$.
(2)①证明：将第$n$
($n \geq 3$)个字符为$A$分为两种情形讨论.i.第一次抛掷的结
果为1,2或3，则最左边的两个字符为$AA$，剩下的$(n - 2)$个
字符中，第$(n - 2)$个字符为$A$的概率为$\frac{1}{2}p_{n - 2}$;ii.第一次抛
掷的结果为4,5或6，则在剩下的$(n - 1)$个字符中，第$(n - 1)$个字符为$A$的概率为$\frac{1}{2}p_{n - 1}$.综上，$p_n = \frac{1}{2}p_{n - 2} + \frac{1}{2}p_{n - 1}(n \geq 3)$，即$\{p_{n + 1} + \frac{1}{2}p_n\}$是一个常数
列.
②解：容易计算$p_1 = \frac{1}{2}$,$p_2 = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$，所以$p_{n + 1} +\frac{1}{2}p_n = 1$.故$p_{n + 1} = - \frac{1}{2}p_n + 1$.即$\{p_n - \frac{2}{3}\}$是以$- \frac{1}{6}$为首项，$- \frac{1}{2}$为公比的等比数列，所以$p_n = \frac{2}{3} - \frac{1}{6} ×( - \frac{1}{2})^{n - 1}$，故$\{p_n\}$的前$n$项和为$\frac{\frac{1}{3} × [1 - ( - \frac{1}{2})^n]}{1 - ( - \frac{1}{2})} = \frac{1}{9} × ( - \frac{1}{2})^n + \frac{2}{3}n - \frac{1}{9}$.