《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

2. 【题型三】(2025·吉林长春东北师大附中高二下月考)若随机变量$X$服从两点分布，$P(X = 1) - P(X = 0) = 0.3$，则$P(X = 0)$为(B)

A.0.3
B.0.35
C.0.6
D.0.65

答案： 2.B[提示:由随机变量$X$服从两点分布,设$P(X=1)=p$,$P(X=0)=1-p$,因为$P(X=1)-P(X=0)=0.3$,解得$p=0.65$,所以$P(X=0)=1-0.65=0.35$.]

3. 【题型三】(2025·黑龙江哈尔滨九中高二下月考)设离散型随机变量$X$的分布列如下表，若随机变量$Y = |X - 2|$，则$P(Y = 2)$等于(D)


A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.5

答案： 3.D[提示:由分布列性质可得$0.2+0.1+0.1+0.3+m=1$,解得$m=0.3$,因为$Y=|X-2|$,所以$P(Y=2)=P(X=0)+P(X=4)=0.2+m=0.2+0.3=0.5$.]

4. 【题型三】(2025·黑龙江牡丹江三中高二下期中)若随机变量$Y$的分布列如下表，则当$P(Y ＜ x) = 0.8$时，实数$x$的取值范围是(D)


A.$x\leq 2$
B.$1 ＜ x ＜ 2$
C.$1\leq x\leq 2$
D.$1 ＜ x\leq 2$

答案： 4.D[提示:由题表得$P(Y=-2)+P(Y=-1)+P(Y=0)+P(Y=1)=0.8$,所以$1＜x\leq2$.]

5. 【题型二】[多选]下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是(BC)

答案： 5.BC[提示:对于A,满足$P(x=i)\geq0(i=1,2,3,·s,n)$,且概率和$0.7+0.15+0.15=1$,故A是某个随机变量的分布列;对于B,满足$P(x=i)\geq0(i=1,2,3,·s,n)$,但概率和$0.5+0.2+0.3+0.1=1.1\neq1$,故B不是某个随机变量的分布列;对于C,不满足$P(x=i)\geq0(i=1,2,3,·s,n)$,故C不是某个随机变量的分布列;对于D,满足$P(x=i)\geq0(i=1,2,3,·s,n)$,且概率和$\lg1+\lg2+\lg5=\lg(1×2×5)=\lg10=1$,故D是某个随机变量的分布列.]

6. 【题型三】(2025·安徽马鞍二中高二下月考)[多选]已知随机变量$X$的分布列如下表：


A.$a = \frac{1}{3}$
B.$a = \frac{1}{6}$
C.$b = \frac{1}{4}$
D.$b = \frac{1}{3}$

答案： 6.AD[提示:依题意,$\begin{cases}\frac{1}{a+b}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=1,\\a+b+\frac{1}{6}=\frac{1}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{3},\\b=\frac{1}{3}.\end{cases}$]

7. 【题型三】(2025·黑龙江鸭山一中高二下月考)[多选]一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过。现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中。记盒中已使用过的球的个数为$X$，则下列结论正确的是(AC)

A.$X$的所有可能取值是3，4，5
B.$X$最有可能的取值是5
C.$X$等于3的概率为$\frac{1}{7}$
D.$X$等于4的概率为$\frac{1}{7}$

答案： 7.AC[提示:记未使用过的乒乓球为$M$,已使用过的为$N$,任取3个球的所有可能是:1个$M$球和2个$N$球,2个$M$球和1个$N$球,3个$M$球.$M$球使用后成为$N$球,故$X$的所有可能取值是3,4,5,故A正确;又$P(X=3)=\frac{C_7^1C_2^2}{C_3^3}=\frac{1}{7}$,$P(X=4)=\frac{C_7^2C_2^1}{C_3^3}=\frac{4}{7}$,$P(X=5)=\frac{C_7^3}{C_3^3}=\frac{2}{7}$,所以$X$最有可能的取值是4,故B,D错误,C正确.]

8. 【题型三、四】(2025·安徽淮南一中高二下月考)[多选]围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵，被列为“琴棋书画”四大文化之一，是中华文化与文明的体现。在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进行最后的决赛，比赛采取五场三胜制，即先胜三场的一方获得冠军，比赛结束。假设每场比赛甲胜乙的概率都为$\frac{1}{3}$，且没有和棋，每场比赛的结果互不影响，记决赛的比赛总场数为$X$，则下列结论正确的是(CD)

A.$X\leq 4$且甲获得冠军的概率是$\frac{1}{27}$
B.有连续三场比赛都是乙胜的概率是$\frac{8}{72}$
C.$P(X = 4)=\frac{10}{27}$
D.若甲赢了第一场，则乙仍有超过50%的可能性获得冠军

答案： 8.CD[提示:对于A,$X\leq4$且甲获得冠军有两种情况:$X=3$且甲获得冠军,$X=4$且甲获得冠军,$X=3$且甲获得冠军表示甲连胜三场,$X=4$且甲获得冠军表示第四场甲获胜且前三场中有两场甲获胜,所以$X\leq4$且甲获得冠军的概率为$P=(\frac{1}{3})^3+C_3^2(\frac{1}{3})^2×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{27}+\frac{2}{27}=\frac{1}{9}$,故A错误;对于B,有连续三场比赛都是乙胜包含三种情况:前三场比赛都是乙获胜,第一场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜,前两场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜,所以有连续三场比赛都是乙胜的概率为$P=(\frac{2}{3})^3+\frac{1}{3}×(\frac{2}{3})^3+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×(\frac{2}{3})^3=\frac{104}{243}$,故B错误;对于C,$X=4$包含两种情况:比赛四场甲获得冠军,比赛四场乙获得冠军,所以$P(X=4)=C_3^2×(\frac{1}{3})^2×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+C_3^2×(\frac{2}{3})^2×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{10}{27}$,故C正确;对于D,甲赢了第一场,乙获得冠军包含两种情况:第二至第四场都是乙获胜,第五场乙获胜且第二至第四场中有两场乙获胜,所以甲赢了第一场,乙仍有超过50%的可能性获得冠军,故D正确.]

9. 【题型二】(2025·宁夏银川二中高二下期中)[多选]已知离散型随机变量$X$的分布列如下表：

则下列选项正确的是(ABD)

A.$m + n = 0.7$
B.若$m = 0.3$，则$P(X ＞ 3) = 0.5$
C.若$m = 0.9$，则$n = - 0.2$
D.$P(X = 1) = 2P(X = 6)$

答案： 9.ABD[提示:对于A,由分布列的性质,可得$0.2+m+n+0.1=1$,解得$m+n=0.7$,故A正确;对于B,若$m=0.3$,可得$n=0.4$,所以$P(X＞3)=P(X=4)+P(X=6)=0.5$,故B正确;对于C,由概率的定义知$m\geq0,n\geq0$,故C不正确;对于D,因为$P(X=1)=0.2$,$P(X=6)=0.1$,所以$P(X=1)=2P(X=6)$,故D正确.]

10. 【题型三】若随机变量$X$的分布列为$P(X = k)=\frac{k}{15}(k = 1,2,3,·s,k\in \mathbf{N}^{*})$，则正整数$k$

的

最大值为5，$P(\frac{1}{2} ＜ X ＜ \frac{5}{2})$的值为$\frac{1}{5}$。

答案： 10.5 $\frac{1}{5}$[提示:由题意得$\frac{1}{15}+\frac{2}{15}+·s+\frac{k}{15}=1$,即$1+2+3+·s+k=15$,解得$k=5$,因为$P(X=k)=\frac{k}{15}(k=1,2,3,·s,k\in N^{*})$,所以$P(\frac{1}{2}\leq\xi\leq\frac{5}{2})=P(X=1)+P(X=2)=\frac{1}{15}+\frac{2}{15}=\frac{1}{5}$.]