《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

6. (2025·吉林省吉林市一中月考)甲、乙、丙三人投篮,甲每次投中的概率为 $\frac {1}{4}$,乙每次投中的概率为 $\frac {1}{2}$,丙每次投中的概率为 $ p(0\lt p\lt 1) $,设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响.
(1)甲、乙每人投 3 次,试比较甲恰好投中 1 次的概率与乙恰好投中 1 次的概率的大小.
(2)丙投篮 3 次,当 $ p $ 为何值时,丙恰好投中 1 次的概率最大? 并求出最大值.

答案： 解：
(1)甲恰好投中1次的概率为$C_4^1 × \frac{1}{4} × ( \frac{3}{4})^3 = \frac{27}{64}$，乙恰
好投中1次的概率为$C_3^1 × \frac{1}{2} × ( \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{8} = \frac{24}{64}$，所以甲恰好投中1次的概率.
(2)丙恰好投中1次的概率为$C_3^1 · p · (1 - p)^2 = 3p(1 - p)^2$.令$f(x) = 3x(1 - x)^2 = 3x^3 - 6x^2 +3x$,$0 ＜ x ＜ 1$，求导得$f'(x) = 9x^2 - 12x + 3$.由$f'(x) ＞ 0$，解得$0 ＜ x ＜\frac{1}{3}$，故$f(x)$在$(0,\frac{1}{3})$上单调递增；由$f'(x) ＜ 0$，解得$\frac{1}{3} ＜ x ＜1$，故$f(x)$在$(\frac{1}{3},1)$上单调递减.所以$f(x)_{\max} = f(\frac{1}{3}) =\frac{4}{9}$.所以当$p = \frac{1}{3}$时，丙恰好投中1次的概率最大，且最大
值为$\frac{4}{9}$.

7. (2025·安徽芜湖一中月考)有甲、乙两个不透明的罐子,甲罐有 3 个红球、2 个黑球,球除颜色外其他完全相同.某人做摸球答题游戏.规则如下:每次答题前先从甲罐内随机摸出一球,然后答题.若答题正确,则将该球放入乙罐;若答题错误,则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的概率均为 $\frac {1}{2}$.当甲罐内无球时,游戏停止.假设开始时乙罐无球.
(1)若此人 $ i $ 次答题后,乙罐内恰有红球、黑球各 1 个的概率记为 $ p_{i} $,求 $ p_{2},p_{3} $.
(2)该游戏在第几次停止的概率最大? 请说明理由.

答案： 解：
(1)记$N =$“此人2次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1
个”，$M =$“此人3次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1
个”，$A_i =$“第$i$次摸出红球，并且答题正确”，$i = 1,2,3$,$B_j =$“第$j$次摸出黑球，并且答题正确”，$j = 1,2,3$,$C_k =$“第$k$次摸
出红球或黑球，并且答题错误”，$k = 1,2,3$，所以$N = A_1B_2 +B_1A_2$,$M = A_1B_2C_3 + A_1C_2B_3 + B_1A_2C_3 + B_1C_2A_3 + C_1A_2B_3 +C_1B_2A_3$，因为$P(A_1) = \frac{3}{5} × \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$,$P(B_1 \mid A_1) = \frac{2}{4} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$,
$P(B_1) = \frac{2}{5} × \frac{1}{2} = \frac{1}{5}$,$P(A_1 \mid B_1) = \frac{3}{4} × \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$，所以$P_2 =P(N) = P(A_1B_2 + B_1A_2) = P(A_1)P(B_2 \mid A_1) + P(B_1)P(A_2 \mid B_1) =\frac{3}{10} × \frac{1}{4} + \frac{1}{5} × \frac{3}{8} = \frac{3}{40} + \frac{3}{40} = \frac{3}{20}$.因为$P(C_1 \mid A_1B_2) = 1 × \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，所以
$P(A_1B_2C_3) = P(A_1)P(B_2 \mid A_1) ·P(C_3 \mid A_1B_2) = \frac{3}{10} × \frac{1}{4} × \frac{1}{2} = \frac{3}{80}$;因为$P(C_2 \mid A_1) = 1 × \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，$P(A_2 \mid B_1C_2) = \frac{3}{4} × \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$，所以$P(B_1C_2A_3) = P(B_1) · P(C_2 \mid B_1)P(A_3 \mid B_1C_2) = \frac{1}{5} × \frac{1}{2} × \frac{3}{8} = \frac{3}{80}$;因为$P(C_1) = 1 × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$，$P(A_2 \mid C_1) = \frac{3}{5} × \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$，$P(B_1 \mid C_1A_2) = \frac{2}{4} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$，所以$P(C_1A_2B_3) = P(C_1)P(A_2 \mid C_1)P(B_3 \mid C_1A_2) = \frac{1}{4} × \frac{3}{10} × \frac{1}{4} = \frac{3}{160}$;因为$P(B_2 \mid C_1) = \frac{2}{5} × \frac{1}{2} = \frac{1}{5}$，$P(A_1 \mid C_1B_2) = \frac{3}{4} × \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$，所以$P(C_1B_2A_3) =P(C_1)P(B_2 \mid C_1)P(A_3 \mid C_1B_2) = \frac{1}{4} × \frac{1}{5} × \frac{3}{8} = \frac{3}{160}$;
所以$p_3 = P(M) = P(A_1B_2C_3 + A_1C_2B_3 + B_1A_2C_3 +B_1C_2A_3 + C_1A_2B_3 + C_1B_2A_3) = \frac{3}{80} × 6 = \frac{9}{40}$.
(2)设该游戏在第$n$
次停止的概率为$a_n(n \geq 5,n \in \mathbf{N}^*)$，则前$n - 1$次答题中
正确恰好为4次，答题错误$n - 5$次，且第$n$次摸出最后一球时
答题正确，所以$a_n = C_{n - 1}^4 × (\frac{1}{2})^4 × (\frac{1}{2})^{n - 5} × \frac{1}{2} = C_{n - 1}^4 × (\frac{1}{2})^n$，
所以$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{C_n^4(\frac{1}{2})^{n + 1}}{C_{n - 1}^4(\frac{1}{2})^n} = \frac{\frac{n!}{2(n - 4)! × 40}}{\frac{(n - 1)!}{(n - 5)! × 40}} = \frac{n}{2(n - 4)}$，令$\frac{n}{2(n - 4)} \geq 1$，解得$n \leq 8$，令$\frac{n}{2(n - 4)} ＜ 1$，解得$n ＞ 9$，所以$a_5 ＜ a_6＜ a_7 ＜ a_8 = a_9 ＞ a_{10} ＞ a_{11} ＞ ·s$，所以$a_n$的最大值是$a_8 = a_9 = \frac{35}{256}$，
即该游戏在第8次或第9次停止的概率最大，最大值为$\frac{35}{256}$.