《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

11. 【题型三】甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用7局4胜制。用$\xi$表示需要比赛的局数，则“$\xi = 6$”表示的比赛过程有20种。

答案： 11.20[提示:“$\xi=6$”表示甲队员(或乙队员)前5局中胜3局,且第6局一定获胜,所以“$\xi=6$”表示的比赛过程有$C_2^1C_3^3=20$(种).]

12. 【题型三】一批产品分为一、二、三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量$\xi$，则$P(\frac{1}{3}\leq \xi\leq \frac{5}{3})=$$\frac{4}{7}$。

答案： 12.$\frac{4}{7}$[提示:设二级品有$k$个,则一级品有$2k$个,三级品有$\frac{k}{2}$个,总数为$\frac{7k}{2}$个,则随机变量$\xi$的分布列为：
ξ 1 2 3
P \frac{4}{7} \frac{2}{7} \frac{1}{7}
则$P(\frac{1}{3}\leq\xi\leq\frac{5}{3})=P(\xi=1)=\frac{4}{7}$.]

13. 【题型三、四】（2025·黑龙江哈尔滨九中高二下月考）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛。
（1）求恰好抽到一名男生和一名女生的概率。
（2）比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积-2分。现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢的概率为$\frac{3}{5}$，乙赢的概率为$\frac{2}{5}$，在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列。

答案： 13.解:
(1)设$A_1$=“抽到第一袋”,$A_2$=“抽到第二袋”,$B$=“随机抽取2名,恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”,则$P(A_1)=P(A_2)=\frac{1}{2}$,且$P(B|A_1)=\frac{C_4^1C_4^1}{C_2^2}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$,$P(B|A_2)=\frac{C_6^1C_5^1}{C_1^1}=\frac{6}{11}$,由全概率公式,可得$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)=\frac{1}{2}×\frac{5}{9}+\frac{1}{2}×\frac{6}{11}=\frac{109}{198}$.
(2)设在一轮比赛中的得分为随机变量$X$,则$X$可能取值为-2,0,2,所以$P(X=-2)=(1-\frac{3}{5})×(1-\frac{2}{5})=\frac{6}{25}$,$P(X=0)=\frac{3}{5}×(1-\frac{2}{5})+(1-\frac{3}{5})×\frac{2}{5}=\frac{13}{25}$,$P(X=2)=\frac{3}{5}×\frac{2}{5}=\frac{6}{25}$,所以得分$X$的分布列为：
X -2 0 2
P \frac{6}{25} \frac{13}{25} \frac{6}{25}

14. 【题型三、四】（2025·辽宁沈阳东北育才学校高二下月考）高考结束后，甲、乙两同学决定各购置一部手机。经了解，目前市场上销售的主流国产手机有：$A$，$B$，$C$，$D$等。甲从$A$，$C$，$D$中挑选，乙从$C$，$D$中挑选，甲、乙二人选择各类型手机的概率如下表：

已知甲、乙都选$D$的概率为$\frac{3}{10}$。
（1）求$p$，$q$的值；
（2）求甲、乙选择不同手机的概率；
（3）某手机市场举办购买手机进行打折活动，活动标准如下表：

记甲、乙两人购手机所获得的补贴和为$X$元，求$X$的分布列。

答案： 14.解:
(1)由题表中数据及题意得$\frac{3}{4}q=\frac{3}{10}$,所以$q=\frac{2}{5}$,又因为$\frac{1}{5}+p+q=1$,所以$p=\frac{2}{5}$.
(2)设甲、乙选择不同手机为事件$M$,则$P(M)=\frac{1}{5}×1+\frac{2}{5}×\frac{3}{4}+\frac{2}{5}×\frac{1}{4}=\frac{3}{5}$.
(3)根据题意,$X$的可能取值为700,800,900,1000,则$P(X=700)=\frac{1}{5}×\frac{3}{4}=\frac{3}{20}$,$P(X=800)=\frac{2}{5}×\frac{3}{4}+\frac{2}{5}×\frac{1}{4}=\frac{7}{20}$,$P(X=900)=\frac{2}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}+\frac{2}{5}×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}=\frac{2}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{10}$,所以$X$的分布列为：
X 700 800 900 1000
P \frac{3}{20} \frac{7}{20} \frac{2}{5} \frac{1}{10}