《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

1. (2024·天津)某校组织学生参加农业实践活动，其间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为_；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为_.$\frac{3}{5} \frac{1}{2}$

答案： 1.$\frac{3}{5} \frac{1}{2}$[提示：方法一：(列举法)给这5个项目分别编号为A,B,C,D,E，从5个项目中选3个的情况有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE，共10种情况，其中甲选到A有6种可能，分别为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE，所以甲参加“整地做畦”的概率为$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.乙选到A项目有6种可能，分别为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE，其中再选择D有3种可能，分别为ABD,ACD,ADE，所以乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.方法二：设甲、乙选到A为事件M，乙选到D为事件N，则甲选到A的概率为$P(M)=\frac{C_{4}^{2}}{C_{5}^{3}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.乙选了A项目，他再选择D项目的概率为$P(N|M)=\frac{P(MN)}{P(M)}=\frac{C_{3}^{1}}{C_{4}^{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.]

2. (经典·新高考全国Ⅱ)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样本数据的频率分布直方图.

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间$[20,70)$的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为$0.1\%$，该地区年龄位于区间$[40,50)$的人口占该地区总人口的$16\%$，从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间$[40,50)$，求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，结果精确到$0.0001$)

答案： 2.解：
(1)平均年龄为$(5 × 0.001+15 × 0.002+25 × 0.012+35 × 0.017+45 × 0.023+55 × 0.020+65 × 0.017+75 × 0.006+85 × 0.002) × 10 = 47.9$(岁).
(2)设A为“一位这种疾病患者年龄在区间$[20,70)$”，所以$P(A)=1 - P(A)=1 - (0.001+0.002+0.006+0.002) × 10 = 1 - 0.11 = 0.89$.
(3)设B为“任选一人年龄位于区间$[40,50)$”，C为“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得$P(B)=16\%$，$P(C)=0.1\%=0.001$，$P(B|C)=0.023 × 10 = 0.23$，由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间$[40,50)$，此人患这种疾病的概率为$P(C|B)=\frac{P(BC)}{P(B)}=\frac{P(C)P(B|C)}{P(B)}=\frac{0.001 × 0.23}{0.16}=0.0014375 \approx 0.0014$.

3. (2024·全国Ⅰ)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_.$\frac{1}{2}$

答案： 3.$\frac{1}{2}$[提示：设甲在四轮比赛中的得分分别为$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$，四轮的总得分为X.对于任意一轮，甲、乙两人在该轮出示每张牌的概率都相等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率$P(X_{k}=1)=\frac{6}{4 × 4}=\frac{3}{8}$，所以$E(X_{k})=\frac{3}{8}(k = 1,2,3,4)$.从而$E(X)=E(X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4})=\sum_{k = 1}^{4}E(X_{k})=4 × \frac{3}{8}=\frac{3}{2}$.记$p_{k}=P(X = k)(k = 0,1,2,3)$.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8，所以$p_{0}=\frac{1}{A_{4}^{4}}=\frac{1}{24}$；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6，所以$p_{3}=\frac{1}{A_{4}^{4}}=\frac{1}{24}$.而X的所有可能取值是0,1,2,3，故$p_{0}+p_{1}+p_{2}+p_{3}=1$，$p_{1}+2p_{2}+3p_{3}=E(X)=\frac{3}{2}$，两式相减得$p_{2}+\frac{3}{2}p_{3}=\frac{1}{2}$，故$p_{2}+p_{3}=\frac{1}{2}$.所以甲的总得分不小于2的概率为$p_{2}+p_{3}=\frac{1}{2}$.]