《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

4. 【题型二】(2025·陕西咸阳实验高二下月考) [多选] 一个袋子中有 3 个大小、质地相同的球,其中有 1 个红球、2 个白球,从袋中不放回摸球 2 次,每次摸 1 个球,记摸得红球个数为 $ X $;从袋中有放回摸球 2 次,每次摸 1 个球,记摸得红球个数为 $ Y $。则 (AD)

A.$ X $ 的所有可能取值为 0 或 1
B.$ Y $ 的所有可能取值为 0 或 1
C.$ P(X = 1)=P(Y = 1) $
D.$ E(X)=E(Y) $

答案： 4.AD[提示：对于A，由题意可得，摸得红球的个数为$0$或$1$，所以$X$的所有可能取值为$0$或$2$，故B错误；对于C，$P(X=1)=\frac{C_{1}^{1}}{C_{3}^{1}}=\frac{C_{1}^{1}}{C_{3}^{1}}=\frac{1}{3}$，
$P(Y=1)=\frac{C_{2}^{1}}{C_{3}^{1}}=\frac{2}{3}$，故C错误；对于D，$P(X=0)=\frac{C_{2}^{1}}{C_{3}^{1}}=\frac{1}{3},P(Y=0)=\frac{C_{2}^{1}}{C_{3}^{1}}=\frac{2}{3}$，$P(Y=2)=\frac{1}{3}$，所以$E(X)=0 × \frac{1}{3}+1 × \frac{2}{3}=\frac{2}{3}$，$E(Y)=0 × \frac{2}{9}+1 × \frac{4}{9}+2 × \frac{2}{3}=\frac{2}{3}$，所以$E(X)=E(Y)$，故D正确.]

5. 【题型二】小林从 $ A $ 地出发去往 $ B $ 地,1 小时内到达的概率为 0.4,1 小时 10 分到达的概率为 0.3,1 小时 20 分到达的概率为 0.3。现规定 1 小时内到达的奖励为 200 元,若超过 1 小时到达,则每超过 1 分钟奖励少 2 元。设小林最后获得的奖励为 $ X $ 元,则 $ E(X) $ 等于 (B)

A.176
B.182
C.184
D.186

答案：
5.B[提示：依题意可得$X$的可能取值为$200,180,160,P(X=200)=0.4,P(X=180)=0.3,P(X=160)=0.3$，则$X$的分布列为：
所以$E(X)=200 × 0.4+(180+160) × 0.3=182.$]

6. 【题型二】小芳用人体语言把成语的意思传递给本组其他同学。若小组内同学甲猜对成语的概率是 0.4,同学乙猜对成语的概率是 0.5,且规定猜对得 1 分,猜不对得 0 分,则这两个同学各猜 1 次,得分之和 $ X $(单位:分)的均值为 (A)

A.0.9
B.0.8
C.1.2
D.1.1

答案： 6.A[提示：由题意可知随机变量$X$的可能取值有$0,1,2,P(X=0)=0.6 × 0.5=0.3,P(X=1)=0.4 × 0.5+0.6 × 0.5=0.5,P(X=2)=0.4 × 0.5=0.2$，因此$E(X)=0 × 0.3+1 × 0.5+2 × 0.2=0.9.$]

7. 【题型二、三】在一次社团活动中,甲、乙两人进行象棋比赛,规定每局比赛获胜的一方得 3 分,负的一方得 1 分(假设没有平局)。已知甲胜乙的概率为 0.6,若甲、乙两人比赛两局,且两局比赛结果互不影响。设两局比赛结束后甲的得分为 $ \xi $,则 $ E(\xi)=$4.4$$ _ 。

答案： 7.4.4[提示：$\xi$可能的取值分别为$2,4,6,P(\xi=2)=0.4 × 0.4=0.16,P(\xi=4)=C_{2}^{1} × 0.6 × 0.4=0.48,P(\xi=6)=0.6 × 0.6=0.36$，所以$E(\xi)=2 × 0.16+4 × 0.48+6 × 0.36=4.4.$]

8. 【题型二】已知盒中装有 $ n(n＞1) $ 个红球和 3 个黄球,从中任取 2 个球(取到每个球是等可能的),随机变量 $ X $ 表示取到黄球的个数,且 $ X $ 的分布列如下表,则 $ E(X)=$1 _ 。

答案： 8.1[提示：由题意知$P(X=0)=\frac{C_{n+3}^{2}}{C_{n+3}^{2}}=\frac{1}{5}$，解得$n=3$或$n=-\frac{1}{2}$(舍去).由$n=3$知$a=P(X=1)=\frac{C_{3}^{1}C_{3}^{2}}{C_{6}^{3}}=\frac{3}{5},b=P(X=2)=\frac{C_{3}^{2}}{C_{6}^{3}}=\frac{1}{5}$，所以$E(X)=0 × \frac{1}{5}+1 × \frac{3}{5}+2 × \frac{1}{5}=1.$]

9. 【题型三】甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量 $ X,Y $,其分布列分别为:

若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是乙_ 。

答案： 9.乙[提示：由题意，$E(X)=0 × 0.4+1 × 0.3+2 × 0.2+3 × 0.1=1$，$E(Y)=0 × 0.3+1 × 0.5+2 × 0.2=0.9,\because E(Y)＜E(X),\therefore$乙技术较好.]

10. 【题型一】(2025·黑龙江牡丹江一中高二下期中) 已知 $ X $ 的分布列如下表,设 $ Y = 2X + 1 $,则 $ Y $ 的数学期望 $ E(Y) $ 的值是$\frac{2}{3}$_ 。

答案： 10.$\frac{2}{3}$[提示：由已知得$\frac{2}{3}+\frac{1}{6}+a=1,\therefore a=\frac{1}{3},\therefore E(X)=2E(X)+1,E(Y)=\frac{1}{2} × \frac{1}{3}=-\frac{1}{6},\therefore E(X)=2 × (-\frac{1}{6})+1=\frac{2}{3}.$]

11. 【题型二、三】(2025·吉林长春十一高中高二下月考) 甲、乙两人共同参加某公司的面试,面试分为初试和复试,若初试不通过,则不用参加复试,复试通过则被录用,否则不被录用。已知甲通过初试和复试的概率分别为 $ \frac{2}{3},\frac{1}{3} $,乙通过初试和复试的概率均为 $ \frac{1}{2} $,两人是否通过面试相互独立。
(1) 求甲、乙两人中至少有 1 人通过初试且没有通过复试的概率;
(2) 设两人中被录用的人数为 $ X $,求 $ X $ 的分布列及数学期望。

答案：
11.解：
(1)记“甲、乙两人中至少有$1$人通过初试且没有通过复试”为事件$A$，甲通过初试且没有通过复试的概率为$P_{1}=\frac{2}{3} × (1-\frac{1}{3})=\frac{4}{9}$，乙通过初试且没有通过复试的概率为$P_{2}=\frac{1}{2} × (1-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$，所以$P(A)=1-(1-P_{1})(1-P_{2})=1-(1-\frac{4}{9}) × (1-\frac{1}{4})=\frac{7}{12}$，即甲、乙两人中至少有$1$人通过初试且没有通过复试的概率为$\frac{7}{12}$.
(2)由题意知$X$的所有可能取值为$0,1,2$.甲被录用的概率为$\frac{2}{3} × \frac{1}{3}=\frac{2}{9}$，乙被录用的概率为$\frac{1}{2} × \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，所以$P(X=0)=(1-\frac{2}{9}) × (1-\frac{1}{4})=\frac{7}{12},P(X=1)=(1-\frac{2}{9}) × \frac{1}{4}+\frac{2}{9} × (1-\frac{1}{4})=\frac{13}{36}$，$P(X=2)=\frac{2}{9} × \frac{1}{4}=\frac{1}{18}$，所以$X$的分布列为：
故$E(X)=0 × \frac{7}{12}+1 × \frac{13}{36}+2 × \frac{1}{18}=\frac{17}{36}$.