《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

12. 【题型二、三】某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如下表：

由表可知，苗木长度 $ x $ (厘米)与售价 $ y $ (元)之间存在线性相关关系，经验回归方程为 $ \hat{y} = 0.2x + \hat{a} $，则当苗木长度为 $ 150 $ 厘米时，售价大约为 38.9 元。

答案： 12.38.9[提示：因为$\bar{x}=\frac{38 + 48+58 + 68+78 + 88}{6}=63$，$\bar{y}=\frac{16.8 + 18.8+20.8 + 22.8+24 + 25.8}{6}=21.5$，所以样本点中心为$(63,21.5)$，又经验回归直线$\hat{y}=0.2x+\hat{a}$经过点$(63,21.5)$，所以$21.5 = 0.2×63+\hat{a}$，所以$\hat{a}=8.9$，所以经验回归方程为$\hat{y}=0.2x + 8.9$，当$x = 150$时，$\hat{y}=38.9$，即当苗木长度为$150$厘米时，售价大约为$38.9$元.]

13. 【题型二】(2025·黑龙江哈尔滨三中高三模拟)由样本数据 $ (x_i,y_i)(i = 1,2,3,·s,10) $ 求得回归直线方程为 $ \hat{y} = 2x - 1 $，且 $ \overline{x} = 3 $，若去除偏离点 $ (4,10) $ 后，得到新的回归直线方程为 $ \hat{y} = \frac{5}{2}x + \hat{a} $，则去除偏离点后，相应于样本点 $ (2,2) $ 的残差值为 $-\frac{2}{9}$。

答案： 13.$-\frac{2}{9}$[提示：由于回归直线过样本中心点，当$x = 3$时，$y = 2x - 1 = 5$，去除偏离点$(4,10)$后，剩余数据的中心点为$(\bar{x}',\bar{y}')$，所以$\bar{x}'=\frac{10x - 4}{9}=\frac{26}{9}$，$\bar{y}'=\frac{10y - 10}{9}=\frac{40}{9}$，将点$(\frac{26}{9},\frac{40}{9})$的坐标代入回归直线方程$\hat{y}=\frac{5}{2}x+\hat{a}$，可得$\frac{40}{9}=\frac{5}{2}×\frac{26}{9}+\hat{a}$，解得$\hat{a}=-\frac{25}{9}$，所以新的回归直线方程为$\hat{y}=\frac{5}{2}x-\frac{25}{9}$，当$x = 2$时，$\hat{y}=5-\frac{25}{9}=\frac{20}{9}$，所以去除偏离点后，相应于样本点$(2,2)$的残差值为$2-\frac{20}{9}=-\frac{2}{9}$.]

14. 【题型一、三】$ x $ 与 $ y $ 的关系如下表：

有如下的两个线性模型：
(1) $ \hat{y} = 6.5x + 17.5 $；
(2) $ \hat{y} = 7x + 17 $。
试比较哪一个拟合效果更好。

答案： 14.解：由
(1)可得$y_{i}-\hat{y}_{i}$与$y_{i}-\bar{y}$的关系如下表：
$y_{i}-\hat{y}_{i}$-0.5-3.510-6.50.5
$y_{i}-\bar{y}$-20-1010020
$\therefore\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\bar{y})^{2}=(-0.5)^{2}+(-3.5)^{2}+10^{2}+(-6.5)^{2}+0.5^{2}=155$，$\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\bar{y})^{2}=(-20)^{2}+(-10)^{2}+10^{2}+0^{2}+20^{2}=1000$.
$\therefore R^{2}=1-\frac{\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\hat{y}_{i})^{2}}{\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\bar{y})^{2}}=1-\frac{155}{1000}=0.845$.由
(2)可得$y_{i}-\hat{y}_{i}$与$y_{i}-\bar{y}$的关系如下表：
$y_{i}-\hat{y}_{i}$-1-58-9-3
$y_{i}-\bar{y}$-20-1010020
$\therefore\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\hat{y}_{i})^{2}=(-1)^{2}+(-5)^{2}+8^{2}+(-9)^{2}+(-3)^{2}=180$，$\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\bar{y})^{2}=(-20)^{2}+(-10)^{2}+10^{2}+0^{2}+20^{2}=1000$.$\therefore R^{2}=1-\frac{\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\hat{y}_{i})^{2}}{\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\bar{y})^{2}}=1-\frac{180}{1000}=0.82$.$\because R_{1}^{2}=0.845$，$R_{2}^{2}=0.82$，$0.845＞0.82$，$\therefore(1)$的拟合效果更好.

15. 【题型二、三】(2025·东三省名校联盟高三模拟)2025 年春晚舞台上，机器人扭秧歌表演成为一大亮点。参与表演的机器人 UnitreeA1 由中国某科技企业制造，其具备出色的负载能力和环境适应能力，可应用于巡检与监控，物流运输，安防与救援等场景。现统计出机器人 UnitreeA1 在某地区 2024 年 2 月至 6 月的销售量数据如下表：

用最小二乘法得到 UnitreeA1 的销售量 $ y $ 关于月份 $ x $ 的回归直线方程为 $ \hat{y} = \hat{b}x + 5.6 $，且相关系数 $ r = 0.98 $，销售量 $ y $ 的方差 $ s_y^2 = 540 $。
(1) 求 $ \hat{b} $ 的值(结果精确到 $ 0.1 $)；
(2) 求 $ m $ 的值。

答案： 15.解：
(1)由表得$\bar{x}=\frac{1}{5}(2 + 3+4 + 5+6)=4$，$\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\bar{x})^{2}=4 + 1+0 + 1+4 = 10$.由$s_{y}^{2}=\frac{1}{5}\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\bar{y})^{2}=540$，得$\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\bar{y})^{2}=2700$.$\therefore r=\frac{\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\bar{x})^{2}}\sqrt{\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\bar{y})^{2}}}=\frac{\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sqrt{10}×\sqrt{2700}} = 0.98$，$\therefore\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})=0.98×10×\sqrt{2700}\approx161.014$，$\therefore\hat{b}=\frac{\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\bar{x})^{2}}=\frac{161.014}{10}\approx16.1$.
(2)$\because$回归直线$\hat{y}=16.1x + 5.6$过样本中心点$(\bar{x},\bar{y})$，且$\bar{x}=4$，$\therefore\bar{y}=16.1×4 + 5.6 = 70$.即$\frac{45 + 55+m + 70+110}{5}=70$，解得$m = 70$.