《2025年零失误分层训练高二数学选择性必修第三册黑吉辽内蒙古专版》

10.【题型二、三】某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI 作业”项目，并且在甲、乙两所学校的高一学生中做用户测试。经过一个阶段的试用，为了解“AI 作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了 200 名学生，对他们“向量数量积”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如下表：

用样本频率估计概率，并假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立。
（1）从两校高一学生中随机抽取 1 人，估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率；
（2）从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取 2 名，以 $\xi$ 表示这 2 人中使用“AI 作业”的人数，求 $\xi$ 的分布列和数学期望。

答案： 10.解：
(1)在两所学校被调查的200名学生中，对“向量数量积”知识点基本掌握的学生有140人，所以估计从两校学生中随机抽取1人，该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率为$\frac{140}{200} = 0.7$.
(2)依题意，$\xi = 0,1,2$，且$P(\xi = 0) = \frac{C_{20}^{2}C_{40}^{0}}{C_{60}^{2}} = \frac{26}{59}$,$P(\xi = 1) = \frac{C_{20}^{1}C_{40}^{1}}{C_{60}^{2}} = \frac{80}{177}$,$P(\xi = 2) = \frac{C_{20}^{0}C_{40}^{2}}{C_{60}^{2}} =$
$\frac{19}{177}$，所以$\xi$的分布列为：
$\xi$ 0 1 2
$P$ $\frac{26}{59}$ $\frac{80}{177}$ $\frac{19}{177}$
所以$E(\xi) = 1 × \frac{80}{177} + 2 × \frac{19}{177} = \frac{2}{3}$.

某社区 100 名居民参加国庆活动，他们的年龄在 30 岁至 80 岁之间，将年龄按 $[30,40)$，$[40,50)$，$[50,60)$，$[60,70)$，$[70,80]$ 分组，得到的频率分布直方图如图所示。

（1）求 $a$ 的值，并估计该社区参加国庆活动的居民年龄的中位数；
（2）现从年龄在 $[50,60)$，$[70,80]$ 的人员中按分层抽样的方法抽取 8 人，再从这 8 人中随机抽取 3 人进行座谈，用 $X$ 表示参与座谈的居民年龄在 $[70,80]$ 的人数，求事件 $X = 1$ 的概率。

答案： 解：
(1)由题意得$(0.005 + 0.010 + a + 0.03 + 0.035) × 10 = 1$，解得
$a = 0.02$，年龄在$[30,50)$的频率为$(0.005 + 0.035) × 10 = 0.4$，
而$[50,60)$的频率为$0.03 × 10 = 0.3$，设中位数为$x$，则$\frac{x - 50}{10} =$
$\frac{0.5 - 0.4}{0.3}$，$x = 53\frac{1}{3}$.所以年龄的中位数为$53\frac{1}{3}$.
(2)由频率分布直方图知年龄在$[50,60)$，$[70,80]$的人数比为3:1，因此抽取的8人中，年龄在$[50,60)$的有6人，在$[70,80]$的有2
人，从这8人中抽取3人，$X$表示参与座谈的居民年龄在$[70,80]$的人数，则$X = 1$即参与座谈的居民年龄在$[70,80]$的人数
为1，所以$P(X = 1) = \frac{C_{6}^{2}C_{2}^{1}}{C_{8}^{3}} = \frac{15}{28}$.