《2025年名校课堂六年级数学上册鲁教版山东专版54制》

【例】原三角形如图所示.如图 1，原三角形内部有 1 个点时，原三角形可被分成 3 个三角形；如图 2，原三角形内部有 2 个不同点时，原三角形可被分成 5 个三角形.
(1)以此类推，原三角形内部有 3 个不同点时，原三角形可被分成7个三角形；
(2)原三角形内部有 $ n $ 个不同点时，原三角形可被分成多少个三角形?
(3)原三角形内部有 50 个不同点时，原三角形可被分成101个三角形.(50 个点不在同一条直线上)

答案：
(1)7
(2)当n=1时，1×2+1=2+1=3(个)；当n=2时，2×2+1=4+1=5(个)；当n=3时，3×2+1=6+1=7(个)；……原三角形内部有n个不同点时，原三角形可被分成(2n+1)个三角形.
(3)101

【跟踪训练】小明下五子棋的时候，用棋子按一定的规律摆了如下三个图案，若小明继续摆下去.

...
(1)摆第 5 个图案需用21颗棋子；
(2)按照此规律摆下去，摆第 $ n $ 个图案需要4n+1颗棋子(用含 $ n $ 的代数式表示)；
(3)是否存在一个图案，使所摆棋子数为 113 颗? 若存在，求出是第几个；若不存在，请说明理由.

答案：
(1)21
(2)(4n+1)
(3)存在.令4n+1=113，解得n=28，所以摆第28个图案需用的棋子颗数为113颗.

1. 按一定规律排列的单项式：$ a^{3} $，$ 4a^{4} $，$ 9a^{5} $，$ 16a^{6} $，$ 25a^{7} $，…，第 $ n $ 个单项式是(A)

A.$ n^{2}a^{n + 2} $
B.$ n^{2}a^{n - 2} $
C.$ (n + 1)^{2}a^{n + 2} $
D.$ (n + 1)^{2}a^{n} $

答案： 1.A

2. 观察下列图形：

...
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 $ n $($ n $ 为正整数)个图形中共有的点数是(B)

A.$ 6n - 1 $
B.$ 6n + 4 $
C.$ 5n - 1 $
D.$ 5n + 4 $

答案： 2.B

3. 如图所示的是一组有规律的图案，它们都是由边长为 1 的正方形和三角形组成的，其中正方形涂有阴影.依此规律，第 7 个图案中阴影部分的面积为16，第 $ n $ 个图案中阴影部分的面积为2(n+1).

...

答案： 3.16 2(n+1)

4. 计算：$ 2^{1} - 1 = 1 $，$ 2^{2} - 1 = 3 $，$ 2^{3} - 1 = 7 $，$ 2^{4} - 1 = 15 $，$ 2^{5} - 1 = 31 $……归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测 $ 2^{2024} - 1 $ 的个位数字是(D)

A.1
B.3
C.7
D.5

答案： 4.D

5. (新疆中考)将全体正偶数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第 10 行第 5 个数是(B)

A.98
B.100
C.102
D.104

答案： 5.B